4.3 纯电容电路

4.3 纯电容电路

现在我们来考察电容器在交流电源下的充放电过程。

当我们将正弦交流电压施加到一个完全放电的电容器上时，在第一个四分之一周期内会出现强大的充电电流。一旦电源极性反转，电容器就会释放存储的能量，以此类推（图 4.6）。

图 4.6 流过电容器的电压和电流。来源：作者自制

问题：电容器充电后电压和电流会发生什么变化？一旦电容器完全充电，我们知道电流将变为零，而电压将达到最大值。

当我们绘制相量图时，电流波形超前电压波形 90 度（图 4.7）。

图 4.7 电压和电流相量图。来源：作者自制

将正弦电压表示为

V(t) = Vm·sin(ωt) V (4.11)

那么，电容器两端的电压也是

Vc(t) = Vm·sin(ωt) V (4.12)

根据电容器的本构定律

Ic(t) = Im·sin(ωt + 90°) A (4.13)

这意味着电容器使电流相对于电压超前 90º。一旦向电容器供电的电压源电压下降，电容器就会释放前一个四分之一周期存储的能量，导致电路中出现放电电流。

接下来我们将回答如下问题：

问题：电容器的充放电时间是多少？平均耗电量是多少？由于电容器的特性，当我们在矢量图（图 4.7）上绘制电流时，我们将其画在与电压成 90° 角的位置。电容器吸收的平均功率为零，因为它在一个四分之一周期内充电，并在下一个四分之一周期内将能量返回。纯电容使电流相对于电压超前 90° 角。

问题：你认为交流电“I”会穿过电容器的电介质吗？流过电容器的交流电在电路中产生正弦交流电流。电容器连续交替的充放电产生了流经电路的正弦交流电流。我们必须记住，该电流并不穿过电容器的电介质。

为了确定电流值，我们将使用一个容量为 C 的电容器，将其连接到输出正弦交流电压的交流发电机端子上。当我们将时刻 t 的电容器电荷量记为 q 时，我们得到：

q = C·U (4.14)

正如我们所知：

i = dq/dt (4.15)

结合公式 4.14 和 4.15 可得

i = d(C·u)/dt = C·du/dt = C·d(U0·sin(ωt))/dt (4.16)

因此：

i = C·ω·U0·cos(ωt) (4.17)

然而，正如我们所知：

cos(ωt) = sin(ωt + π/2) (4.18)

可以定义为：

i = C·ω·U0·sin(ωt + π/2) (4.19)

请记住，根据正弦交流电波的一般表达式，我们得到电流“I”的瞬时值，它是模等于最大值 I0 并逆时针旋转的矢量在 y 轴上的投影。

因此，可以得出：

I0 = C·ω·U0 (4.20)

于是，我们可以表示电流的瞬时值“I”：

i = I0·sin(ωt + π/2) (4.21)

该方程表明，纯电容电路中的电流是时间的正弦函数，频率与电压源相同，但超前 π/2 弧度。

注意，我们可以将公式 4.21 表示为电压的函数：

I0 = C·ω·U0 = U0/(1/(C·ω)), (4.22)

那么，我们有

XC = 1/(C·ω)

我们可以绘制时域正弦波形以及旋转相量图（图 4.8）。

图 4.8 时域正弦波形及旋转相量。来源：作者自制

我们利用欧姆定律，将最大电压值 U0 除以瞬时电压值 u 等于 U0 时对电流通过的阻碍，从而求出最大电流 I0。我们可以将电容器连接到交流电压源（图 4.9）。

图 4.9 连接到正弦电压源的电容器。来源：作者自制

因此，容抗或电容（记为 Xc）表征了电路中的电容对交流电流流动的阻碍作用。

取实部，我们得到：

I = U/XC (4.23)

在这种情况下，根据交流欧姆定律 (Z = XC)，电路阻抗等于容抗的值（公式 4.1）。可以看出，电容 C 越大，容抗越低（公式 4.22）。还可以看出，XC 越低，电容器的充放电电流就越大（公式 4.23）。正弦电流的角频率 "w" 越高，电容器充放电就越快，从而电路中的电流增大。

重要的是要记住，w 与频率成正比。随着频率升高，XC 将减小。在交流电路中，电容器对高频电流表现为小电阻或短路，对低频电流则表现为阻碍。我们可以将直流电定义为频率为零。这是为了强调这一点。

普通频率 的计量单位是周每秒 或赫兹，角频率 的计量单位是弧度每秒。

于是我们知道如何换算：

w = 2πf

电容器极板间的电压差出现在电流 I 之后，被称为“电容电压降”或“容性无功电压”。

我们计算该量为 Uc = Xc·I = IC·ω (4.24)

习题 4.1

有一个 175 μF 的电容器连接到 230 V、50 Hz 的交流电压源（图 4.10）。求容抗和电流。画出 U 和 I 的矢量图。

图 4.10 习题 4.1 仅含电容器的电路。