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做一做

已知 $m = n$ ，下列等式成立吗？根据是什么？（1） $m + 5 = n + 5$ （2） $- 2 m = - 2 n$ （3） $\frac{m}{3} = \frac{n}{3};$ （4） $m - n = 0_{\circ}$

▶例1 已知 $2 x - 5 y = 0$ ，且 $y \neq = 0$ ，判断下列等式是否成立，并说明理由。（1） $2 x = 5 y;$ （2） $\frac{x}{y} = \frac{5}{2} \circ$

解：（1）成立。理由如下：

已知 $2 x - 5 y = 0$ ，依据等式的性质1，

等式的两边都加上 $5 y$ ，得 $2 x - 5 y + 5 y = 0 + 5 y$

得 $2 x (\frac{1}{2}) = 5 y_{⊙}$

（2）成立。理由如下：

由第（1）题知 $2 x = 5 y$ ，而 $y \neq = 0$ ，依据等式的性质2，

等式的两边都除以 $2 y$ ，得 $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$ 。

▶例2 利用等式的性质求下列方程的解：

（1） $4 x = 3 x - 8$ （2） $- 2 x = 5_{\circ}$

解：（1）依据等式的性质1，方程两边都减去 $3 x$ ，得 $4 x - 3 x = 3 x - 8 - 3 x$ ，得 $x = - 8$ 。

（2）依据等式的性质2，方程两边都除以－2，得 $\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{5}{- 2}$ ，得 $x = - 2.5$ 。

根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式。

（1） $a = - b$ ，两边都加上b；

（2） $3 a = 2 a + 1$ ，两边都减去2a；

（3） $\frac{a}{3} = \frac{b}{2}$ ，两边都乘6。

利用等式的性质解下列方程。（1） $5 x - 3 = 7$ ；（2） $4 x - 1 = 3 x + 3$
已知 $2 x + 4 y = 0$ ，且 $x \neq = 0$ ，求y与x的比。

作业题ZUOYET

根据下列各题的条件，写出仍然成立的等式。

（1）a－b－1＝0，等式的两边都加上1；

（2）a＋b＝2b，等式的两边都减去b；

（3） $\frac{a}{12} = \frac{b}{5}$ ，等式的两边都乘60；

（4）－8a＝24b，等式的两边都除以－8。

已知x＋3＝1，下列等式成立吗？依据是什么？（1）3＝1－x；（2） $- 2 (x + 3) = - 2$ （3） $\frac{x + 3}{3} = \frac{1}{3};$ （4） $x = 1 - 3_{c}$
利用等式的性质求下列方程的解。（1） $x - 5 = 6;$ （2） $8 - 2 x = 1 0_{\circ}$
已知a＝2，b＝－3，你能写出哪些成立的等式？

B 组 5. 等式 $\frac{a}{3} - \frac{b}{4} = 0$ 能变形成4a＝3b吗？若能，请说出每一步的变形过程及其依据。

已知 $x + y = 5, x - y = 1$ ，能利用等式的基本性质求出x和y的值吗？

5.3 一元一次方程和它的解

2020年11月10日，我国载人潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到10 909米，刷新了我国载人深潜纪录，是世界上首次同时将3人带到地球最深处。潜水器在水下时，怎样根据承受的水压计算它所在的深度？

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HEZUOXUEXI

分析下列问题所给条件的数量关系，并根据其中的等量关系列出方程。

（1）一件衣服按八折销售的售价为120元，这件衣服的原价是多少元？设这件衣服的原价为x元，可列出方程：。

（2）王老师和小明相差18岁，6年后王老师的年龄正好是小明的2倍，问：小明今年多大？

设小明今年y岁，可列出方程：。

（3）在水下，水深每增加10米，物体承受的水压大约增加1个大气压。当“奋斗者”号载人潜水器下潜至7 000米时，它承受的水压约为700个大气压。问：当它承受水压增加到850个大气压时，它又继续下潜了多少米？

设它又继续下潜了x米，可列出方程：。

观察你所列的方程，这些方程有哪些共同的特点？

（请与你的同伴交流）

方程 $80% x = 120, y + 18 + 6 = 2 (y + 6), 700 + \frac{x}{10} = 850$ ，都只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程（linear equation in one unknown）。

能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根❶。求方程的解的过程称为解方程。

下列方程中，哪些是一元一次方程？（1） $2 x - 3 = 5$ ；（2） $m^{2} - 4 = 3 m$ （3） $x + y + z = 7$ （4） $3 a - 5 = - 6 + a;$ （5） $\frac{2}{x - 5} = 1_{\circ}$
判断下列x的值是不是方程 $2 x - 3 = 5$ 的解。（1） $x = 2;$ （2） $x = 4;$ （3） $x = - 1_{\circ}$

等式的性质是方程变形的依据，利用等式的性质将一元一次方程一步一步变形，最后变形成 $^{66} x = a (a$ 为已知数）”的形式，就求出了一元一次方程的解。

▶例利用等式的性质，解下列一元一次方程：

（1） $5 x = 50 + 4 x$ （2） $8 - 2 x = 9 - 4 x_{\circ}$

解：（1）依据等式的性质1，方程的两边都减去4x，得

5x－4x＝50＋4x－4x，

合并同类项，得 $x = 5 0_{c}$

检验：把x＝50代入方程，

左边＝5×50＝250，右边 $= 50 + 4 \times 50 = 250$

因为左边＝右边，所以x＝50是方程的解。

（2）方程的两边都加上4x，得

$8 - 2 x + 4 x = 9 - 4 x + 4 x \circ$

合并同类项，得 $8 + 2 x = 9$

练习题

已知 $a = b$ ，根据等式性质1，下列哪个等式成立？

a + 5 = b - 5

a + 5 = b + 5

a - 5 = b + 5

5 a = 5 b

已知 $2 x = 5 y$ 且 $y \neq = 0$ ，根据等式性质2，下列哪个等式成立？

\frac{x}{y} = \frac{5}{2}

\frac{x}{5} = \frac{y}{2}

x = 5

y = 2

下列哪些方程是一元一次方程？

2 x - 3 = 5

m^{2} - 4 = 3 m

x + y + z = 7

3 a - 5 = - 6 + a

\frac{2}{x - 5} = 1

一元一次方程的解是使方程两边相等的未知数的值。

解方程是求方程的解的过程，这个过程称为___。

判断 $x = 4$ 是否是方程 $2 x - 3 = 5$ 的解，并说明理由。

利用等式性质1，解方程 $5 x = 50 + 4 x$ 的第一步是？

A. 两边同时除以5

B. 两边同时减去4x

C. 两边同时加上4x

D. 两边同时乘以2

下列哪些步骤是利用等式性质解一元一次方程时可能用到的？

A. 两边同时加或减同一个数

B. 两边同时乘或除以同一个不为0的数

C. 合并同类项

D. 两边同时开平方

E. 两边同时取对数

方程 $m^{2} - 4 = 3 m$ 是一元一次方程。

利用等式性质解方程 $8 - 2 x = 9 - 4 x$ ，并写出每一步的依据。

已知 $a = 2$ ， $b = - 3$ ，根据等式性质，下列哪个等式成立？

a + b = 1

a - b = 5

ab = - 6

\frac{a}{b} = - \frac{2}{3}

方程 $80% x = 120$ 的解是 $x =$ ___。

下列方程中，是一元一次方程的是（）

2 x - 3 = 5

m^{2} - 4 = 3 m

x + y + z = 7

r a c 2 x - 5 = 1

下列关于方程的解的说法，正确的是（）

A. 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解

x = 2

是方程

2 x - 3 = 5

的解

x = - 1

是方程

2 x - 3 = 5

的解

D. 方程的解是使方程成立的未知数的值

利用等式的性质1，方程 $5 x = 50 + 4 x$ 两边都减去 $4 x$ ，可得到 $x = 50$ 。（）

方程 $3 a - 5 = - 6 + a$ 是一元一次方程，因为它只含有_个未知数，未知数的次数都是_次，且两边都是整式。

请说明如何利用等式的性质判断 $x = 4$ 是不是方程 $2 x - 3 = 5$ 的解。

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作业题ZUOYET

5.3 一元一次方程和它的解

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练习题

已知 a=b，根据等式性质1，下列哪个等式成立？

已知 2x=5y 且 y=0，根据等式性质2，下列哪个等式成立？

下列哪些方程是一元一次方程？

一元一次方程的解是使方程两边相等的未知数的值。

解方程是求方程的解的过程，这个过程称为___。

判断 x=4 是否是方程 2x−3=5 的解，并说明理由。

利用等式性质1，解方程 5x=50+4x 的第一步是？

下列哪些步骤是利用等式性质解一元一次方程时可能用到的？

方程 m2−4=3m 是一元一次方程。

利用等式性质解方程 8−2x=9−4x，并写出每一步的依据。

已知 a=2，b=−3，根据等式性质，下列哪个等式成立？

方程 80%x=120 的解是 x= ___。

下列方程中，是一元一次方程的是（ ）

下列关于方程的解的说法，正确的是（ ）

利用等式的性质1，方程5x=50+4x两边都减去4x，可得到x=50。（ ）

方程3a−5=−6+a是一元一次方程，因为它只含有___个未知数，未知数的次数都是___次，且两边都是整式。

请说明如何利用等式的性质判断x=4是不是方程2x−3=5的解。