3.3 立方根

3.3 立方根

如图是由8个同样大小的单位立方体组成的魔方。这8个单位立方体可以重新排列，组成魔方表面的各种不同图案。

要做一个体积为 $8{\mathrm{cm}}^3$ 的立方体模型（如图3-6），它的棱要取多长？从运算的角度看，就是已知一个数的立方等于8，求这个数。

思考：什么数的立方等于－8？

图 3-6

一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根（cube root），也叫作a的三次方根，记作 $\sqrt[3]{a}$ 。其中a是被开方数，3是根指数，符号“3 ”读作“三次根号”。例如， $2^3=8$ ，其中2是8的立方根，即 $\sqrt[3]{8}=2;(-2)\text{sp}3=-8$ 其中－2是－8的立方根，即 $\sqrt[3]{-8}=-2$

注意

83 中 的 根指 数 3 不 能 省略，要写在根号的左上角。

求一个数的立方根的运算，叫作开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方运算求一个数的立方根。

▶例1 求下列各数的立方根：
（1）27； （2） $-27$ （3） $\frac{1}{27}$ （4）－0.064； （5）0。

解：（1）因为 $3^3=27$ ，所以27的立方根是3，即 $\sqrt[3]{27}=3,$

（2）因为 $(-3{)}^3=-27$ ，所以－27的立方根是－3，即 $\sqrt[3]{-27}=-3$ 。

（3）因为 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$

所以 $\frac{1}{27}$ 的立方根是 $\frac{1}{3}$ ，即 $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$ 。

（4）因为 $(-0.4{)}^3=-0.064$

所以－0.064的立方根是－0.4，即 $\sqrt[3]{-0.064}=-0.4$ 。

（5）因为 $0^3=0$

所以0的立方根是0，即 $\sqrt[3]{0}=0$ 。

一般地，我们有以下事实：

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

▶例2 计算：

（1） $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$ （2） $\sqrt[3]{-64}+\sqrt{16}$

解：（1） $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}$

（2） $\sqrt[3]{-64}+\sqrt{16}=-4+4=0.$ 。

课内练习 KENEIUANXI

1. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1） $\frac{8}{27}$ 的立方根是 $\pm \frac{2}{3}$

（2）负数不能开立方。

2. 求 $1,-1,-\frac{1}{27}$ 的立方根。

3. 求下列各数的值：（1） $\sqrt[3]{216}$ ； （2） $\sqrt[3]{-0.008}$ （3） $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$

由二次方根和三次方根的概念，会自然联想到还有四次方根、五次方根……你能给出它们的定义，并说说它们的一些特点吗？

作业题

ZUOYETI

1. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）4的平方根是2；

（2）－8没有立方根；

（3）8的立方根是±2；

（4）－8的立方根是－2。

2. 填空：

（1）因为（ ）3 ＝－125，所以 －1253 ＝

（2）因为（ ${)}^3=\frac{64}{27}$ ，所以 $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}=$ 。

3. 求下列各数的立方根：（1）0； （2）－0.027； （3） $-\frac{343}{8}$

4. 计算：（1） $\sqrt[3]{-8}-\sqrt{25}$ ； （2） $\sqrt[3]{0.001}+\sqrt{0.01}$

5. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）互为相反数的数的立方根也互为相反数；

（2）立方根是它本身的数只有0；

（3）平方根是它本身的数只有0。

6. 如果要制作一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的27倍，那么它的棱长应是已知立方体的棱长的几倍？

7. 计算： $\sqrt{1.21}\times \sqrt[3]{1.331}$

3.4 实数的运算

一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间（t 秒）之间的关系可以用 $t=\sqrt{\frac{h}{5}}$ 来估计。