课内练习 KENEILIANXI

课内练习 KENEILIANXI

1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

1.732 1， 1 ，0.36，－ 2，2π，0，－ 49。

2. 填空：

（1） $-\sqrt{3}$ 的相反数是 。

（2） $|-\sqrt{5}|=$ 。

（3）一个数的绝对值是 $\frac{\pi }{2}$ ，这个数是 。

3. 用“＜”“＞”或数字填空：

（1）因为 1.732 3 1.742 ，

所以 1.73 3 1.74，

所以 $\sqrt{3}\approx$ （精确到0.1）。

（2）因为 2.4492 6 2.4502 ，

所以 2.449 6 2.450，

所以 $\sqrt{6}\approx$ （精确到0.01）。

作业题ZUOYETI

1. 指出下列各数是有理数还是无理数：

$$1,-\sqrt{4},\sqrt{\frac{25}{9}},3.14159,\frac{1}{6},-\sqrt{3},3.\dot{1}3\dot{1},$$

3.131 331 333 133 331…（两个“1”之间依次多一个“3”）。

2. 请写出四个无理数。

3. 分别求下列各数的绝对值和相反数：（1） $-\sqrt{2}$ （2） $\sqrt{5}$ （3） $-{\pi }_{\circ }$

4. 请将下列实数与它们在数轴上的对应点连起来，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接。0. $\dot{.}6,-\sqrt{6},-\sqrt{2},\frac{5}{2},0{}_{\mathrm{o}}$

5. 用考察 $\sqrt{2}$ 的近似值的方法，求 $\sqrt{5}$ 的近似值。写出精确到十分位的近似值。你能将 $\sqrt{5}$ 的近似值精确到哪一位？

神奇的π

我们已经知道，π是一个无理数，即无限不循环小数。在日常应用中，般只需要知道π的前4位小数值就足够了，然而数学家对π的值的研究却经历了许多个世纪。

公元前1700年，埃及人使用 $\frac{256}{81}\approx 3.16049$ 作为圆周率，并由此认为圆的面积公式为 $S=(d-\frac{d}{9}{)}^2$ （d为圆的直径）。后来，阿基米德（Archimedes，约前287～前212）证明了 $\frac{223}{71}<\pi <\frac{22}{7}$

在中国古代，张衡（78～139）给出圆周率的值为$\sqrt{10}=3.162\cdots$ ，后来，中国两位杰出的数学家刘徽和祖冲之（429～500）又对π的研究作出了重要的贡献。263年，刘徽撰《九章算术注》，首创一种称为“割圆术”的数学方法，算出π的近似值为3.141 6。460 年，祖冲之仍采用刘徽的“割圆术”，推算出3.141 592 6＜π＜3.141 592 7，还得到 π 的两个近似值： $\frac{22}{7}$ （约率）和 $\frac{355}{113}$ （密率）。这个纪录在世界上保持了一千多年，直至1593年，欧洲才有人算得比它更精确的π值。

▲刘徽

1609年，德国数学家范·科伊伦（van Ceulen，1540～1610）把π的近似值算到了小数点后35位。为了纪念他的这项成就，人们给他立了一块奇特的墓碑，上面刻着他算得的π值：

▲祖冲之

3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…

1655年，英国数学家沃利斯（Wallis，1616～1703）将π表示为无穷乘积的形式：

$$\pi =4\left(\frac{2\times 4\times 4\times 6\times 6\times 8\times 8\times 10\times 10\times 12\times 12\times \cdots }{3\times 3\times 5\times 5\times 7\times 7\times 9\times 9\times 11\times 11\times 13\times \cdots }\right),$$

此后，德国数学家莱布尼茨（Leibniz，1646～1716）证明了

\pi { = } 4 \left( 1 { - } { \frac { 1 } { 3 } } { + } { \frac { 1 } { 5 } } { - } { \frac { 1 } { 7 } } { + } { \frac { 1 } { 9 } } { - } { \frac { 1 } { 1 1 } } { + } { \frac { 1 } { 1 3 } } { - } { \frac { 1 } { 1 5 } } { + } { \frac { 1 } { 1 7 } } { - } { \frac { 1 } { 1 9 } } { + } \cdots { \right) }

1874年，英国数学家詹克斯（Shanks，1812～1882）出版了一本关于π估值的书，他把π的值求到小数点后707位。由于当时没有现代计算机，他是用手工算的，足足算了15年。然而到1946年，有数学家提出詹克斯给出的值的第528位以后是错的。

为什么π的近似值计算有如此大的魅力，吸引了众多数学家执着追求呢？这是因为 π除了它本身的意义之外，还在以下这些方面有着重要作用：

●它与概率论等其他数学领域的研究有着密切的联系。

●它可以检验超级计算机的硬件和软件的性能。

●计算π的方法和思路可以引发新的数学概念和思想。

据已公布的结果，截至2021年，计算机求得的π值已精确到小数点后62.8万亿位。人们对π的研究还将继续下去。