3.2 从有理数到实数

3.2 从有理数到实数

用一张A4纸折出一个最大的正方形，将对角线与另一张A4纸的长边叠合，你发现了什么？由此你能得出 4纸长与宽的比是多少吗？

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如图3-2，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形。设每一方格的边长为1个单位长度，讨论下面的问题：

（1）阴影正方形的面积是多少？

（2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？

（3）阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？（请与你的同伴交流）

图 3-2

观察图3-2，我们可得图中阴影正方形的边长为 $\sqrt{2}$ 。因为 $1<\sqrt{2}<2$ 所以它不是整数。下面让我们一起探究 $\sqrt{2}$ 的十分位、百分位、千分位等数位上的值。

我们可以通过计算，得到下表。

表 3-1

$1.4^2<2<1.5^2$	$1.4<\sqrt{2}<1.5$
$1.41^2<2<1.42^2$	$1.41<\sqrt{2}<1.42$
$1.414^2<2<1.415^2$	$1.414<\sqrt{2}<1.415$
$1.4142^2<2<1.4143^2$	$1.4142<\sqrt{2}<1.4143$
$1.41421^2<2<1.41422^2$	$1.41421<\sqrt{2}<1.41422$
·

如此进行下去，可以得到一系列越来越接近 $\sqrt{2}$ 的近似值。事实上，

$$\sqrt{2}=1.414213562373095048801688724209698078569\cdots ,$$

它既不是有限小数，也不是无限循环小数（不能化为分数）。

像 $\sqrt{2}$ 这种无限不循环小数叫作无理数（irrational number）。无理数广泛存在着，例如：

$$\begin{array}{rl}& \pi =3.1415926535897932384626433832795028841971693\cdots ,\\ & \sqrt{3}=1.7320508075688772935274463415058723669{\cdots }_{\circ }\end{array}$$

任意写一个无限不循环小数，如1.010 010 001…（两个“1”之间依次多一个“0”），它也是无理数。

如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。

和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。例如， $\pi ,\sqrt{2}$ $\sqrt{3},\sqrt{5}$ 都是正无理数， $-\pi ,-\sqrt{2},-\sqrt{3},-\sqrt{5}$ 都是负无理数。

有理数和无理数统称实数（real number）。

我们已经知道，每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来。例如，可把 $-2,-0.5,\frac{1}{4}$ 和2表示在数轴上（图3-3）。

图 3-3

那么，数轴上的每一个点都表示一个有理数吗？答案是否定的。

如图 3-4，通过画图 3-2中正方形 ABCD的边长，就能准确地把 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$ 表示在数轴上。把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。例如， $\sqrt{2}$ 与 $-\sqrt{2}$ 互为相反数， $|\sqrt{2}|=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$ 。

图 3-4

在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。

有理数的大小比较法则也适用于实数。

在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。

▶例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）。

$$\frac{8}{3},-\pi ,1.5,-{\sqrt{3}}_{\circ }$$

分析：对于 $-\pi ,-\sqrt{3}$ 等无理数，我们可以取其适当的近似值，把它们近似地表示在数轴上，如取 $-\pi \approx -3.1,-\sqrt{3}\approx -1.7\mathrm{\Omega }$

解：把 $\frac{8}{3},-\pi ,1.5,-\sqrt{3}$ 表示在数轴上，如图 $3^{-}5,$

图 3-5

所以 $-\pi <-\sqrt{3}<1.5<\frac{8}{3}\circ$