2.3 节 2.4 节

2.3 节 2.4 节

★掌握有理数的乘法、除法及简单的混合运算。

★理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律，能运用乘法运算律简化运算。

4. 计算：（1） $(-15)\times (-4)$ （2） $\frac{5}{9}\times (-2.7)$ （3） $\left(-\frac{7}{5}\right)\times \frac{1}{5};$ （4） $(-8)÷(-1.25{)}_{\circ }$

5. 计算：（1） $3\times (-1.7)\times 2;$ （2） $8\times \left(-\frac{5}{3}\right)\times (-0.25)\times \left(-\frac{6}{5}\right):$ （3） $11÷\frac{1}{7}\times (-\frac{4}{11})$ （4） $(-1.5)\times \frac{4}{5}÷\left(-\frac{2}{5}\right)\times \frac{3}{4}\mathrm{c}$ ★理解乘方的意义，掌握有理数的乘方运算。

目标

★会用科学记数法表示较大的数（包括在计算器上表示）。

6. 计算： （1） $(-9{)}^2$ （2） $(-0.3{)}^3$ （3） ${\left(\frac{3}{7}\right)}^2$ （4） $(-10{)}^5$ （5） $-4\times {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2$ （6） ${\left(\frac{2}{5}\times \frac{5}{3}\right)}^2$

7. 用科学记数法表示下列叙述中的数。

（1）世界上最深的海沟是太平洋的马里亚纳海沟，海拔为－11 034 米；

（2）据科学家估计，地球的年龄大约是4 600 000 000年。

8. 一次自然灾害导致大约20万人受困，急需一批帐篷和粮食进行援助。估计每顶帐篷可以住10人，平均每人每天需要粮食0.4千克，共维持15天，那么有关部门需要筹集多少顶帐篷、多少吨粮食（结果用科学记数法表示）？

目标

2.6 节 2.7 节

★掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。

★了解近似数的概念，会根据预定精确度取近似值。

★能用计算器进行加、减、乘、除和乘方的运算，以及一些简单的混合运算。

9. 计算：

（1） $(-66)\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{5}{11});$

（3） $-2^2÷\frac{2}{3}\times {\left(1-\frac{1}{3}\right)}^2$

$$4-(-3{)}^2\times 2$$

（4） $3^2÷(-\frac{1}{3}{)}^3-2^4÷(-\frac{1}{2})$

10. 用四舍五入法将下列各数取近似值。

（1）0.033 95（精确到 0.000 1）；

（2）106.49（精确到个位）；

（3）8.050 4（精确到 0.01）；

（4）5 109 500（精确到万位，并用科学记数法表示）。

11. 用计算器计算：

（1） $1.85-\left(2-1\frac{3}{4}\right)\times 7$ （2） $\frac{1.6^4}{2.5-1.7};$

（3） $91\times 13^3÷21\%$ （精确到0.01）。

$=\frac{1}{3}\times$ 底面积×高）。

13. 用计算器计算：

$$99999\times 11,99999\times 12,99999\times 13,99999\times 14_0$$

你发现了什么规律？用你所发现的规律口算99 999×19。

目标

★能运用有理数的运算解决简单问题。

14. 有一个水库某天8:00的水位为－0.1 m（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在之后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，－0.8，0，－0.2，－0.3，0.1。

经这6次水位变化后，水库的水位超过警戒线了吗？

15. 小江家的住房户型结构如图所示。请算出小江家的住房面积。

单位：mm

（第15题）

第3章实数

跳伞运动员跳离飞机，在打开降落伞前，下降的高度d（米）和下降的时间（t 秒）之间满足关系式 $d=5t^2$ （不计空气阻力）。你能算出跳伞运动员在打开降落伞前下降875米需要的时间吗？

当你站在h千米的高处时，你能看到的最远距离d可表示为 $d=112\sqrt{h}$ 千米。“上海之巅”观光厅位于上海中心大厦第118层，垂直高度546米，人站在观光厅里能看多远？

本章将学习平方根、立方根、实数及其运算。实数的引入，会带我们进入一个更广阔的数的世界。

3.1 平方根

一张正方形桌面的面积为 $1.44{\mathrm{m}}^2$ ，它的边长为多少米？

一个正方形的面积为 $1.44{\mathrm{m}}^2$ （如图3-1），这个正方形的边长为多少米？你是怎么想的？什么数的平方等于 1.44？

图 3-1

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根（square root），也叫作a的二次方根。例如，因 为 $1.2^2=1.44$ ，所以 1.2 是 1.44 的平方根。又因为${\left(-1.2\right)}^2=1.44$ ，所以－1.2也是1.44的平方根。

请分别说出 ${}^{49,\frac{1}{25}}$ ，0的平方根。

关于数的平方根，我们有以下事实：

一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

一个正数a 的正平方根用“ ${\sqrt{a}}^{\mathfrak{v}}$ ”表示（读作“根号 $a^{\prime \prime })$ ）；a的负平方根用${}^{\ast \ast }-{\sqrt{a}}^{†}$ ”表示（读作“负根号 $a^{\prime \prime })$ ），因此，一个正数 a 的平方根就用“± ${\sqrt{a}}^{\eta }$ ”表示（读作“正、负根号 $a^{\prime \prime })$ ），其中a叫作被开方数。

求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。

▶例1 求下列各数的平方根： （1）9； （2） $\frac{1}{4}$ （3）0.36； （4） $\frac{16}{9}\mathfrak{c}$ 解： （1）因为 $3^2=9,(-3{)}^2=9$ 所以9的平方根是±3，即± $\sqrt{9}=\pm 3$ 。

（2）因为 ${\left(\pm \frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ 所以 $\frac{1}{4}$ 的平方根是 $\pm \frac{1}{2}$ ，即 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}=\pm \frac{1}{2}\circ$

（3）因为 $(\pm 0.6{)}^2=0.36$ 所以0.36的平方根是 $\pm 0.6$ ，即± $\sqrt{0.36}=\pm 0.6$ 。

（4）因为 $(\pm \frac{4}{3}{)}^2=\frac{16}{9}$ 所以 $\frac{16}{9}$ 的平方根是 $\pm \frac{4}{3}$ ，即 $\pm \sqrt{\frac{16}{9}}=\pm \frac{4}{3}$ 。

正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是 $0_{\circ }$ 一个数 $a(a⩾0)$ 的算术平方根记作“ $\cdot {\sqrt{a}}^{†}$ 。例如，9的算术平方根是3，即 $\sqrt{9}=3,\frac{1}{4}$ 的算术平方根是 $\frac{1}{2}$ ，即 $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ 。

▶例2 先说出下列各式的意义，再计算。 （1） $\pm \sqrt{\frac{49}{100}};$ （2） $\sqrt{225}$ （3） $-\sqrt{\frac{9}{4}}\mathfrak{c}$

解： （1） $\pm \sqrt{\frac{49}{100}}$ 表示 $\frac{49}{100}$ 的平方根。$\pm \sqrt{\frac{49}{100}}=\pm \frac{7}{10}\circ$

（2） $\sqrt{225}$ 表示225的算术平方根。$\sqrt{225}=15_{\circ }$

（3） $-\sqrt{\frac{9}{4}}$ 表示 $\frac{9}{4}$ 的负平方根。$-\sqrt{\frac{9}{4}}=-\frac{3}{2}\circ$

1. 填空：

（1）因为（ ）2 ＝1，

所以1的平方根是 ，即± 1＝ 。

（2）因为（ ）2 ＝64，

所以64的平方根是 ，即 。

（3）因为（ ）2 ＝0.04，

所以0.04的平方根是 ，即 。

（4）因为（ ${)}^2=\frac{36}{25}$

所以± $\sqrt{\frac{36}{25}}=$ 。

2. 求下列各数的平方根： $64,\frac{16}{25},\frac{4}{81},0.01$ 。

3. 下列各数有没有平方根？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。

100，116，0.09，－0.36，0。

作业题

1. 填空：

（1） 数的平方根有两个，它们互为

（2） 数没有平方根；

（3）0.25的算术平方根是 。

2. 填空：

（1）因为（ ${)}^2=\frac{9}{4}$

所以 $\frac{9}{4}$ 的平方根是 ，即± $\sqrt{\frac{9}{4}}=$ 。

（2）因为（ ）2 ＝0.16，

所以0.16的平方根是 ，即 。

3. 下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。

$$0.0001,(-7{)}^2,-9,\frac{4}{49}\circ$$

4. 先说出下列各式的意义，再计算。

（1） $\sqrt{169}$

（2） $\pm \sqrt{4}$

（3） $-\sqrt{7.3^2}($

5. 计算：

（1） $\sqrt{196}:$

（2） $\pm \sqrt{324};$

（3） $\sqrt{0.81};$

（4） $-\sqrt{\frac{9}{25}}\circ$

6. 已知一个长方形的长是宽的2倍，面积为 $72{\mathrm{cm}}^2$ ，求这个长方形的周长。

7. 用计算器计算，比较下列各数的大小： $1^2,2^2,2.5^2,5.7^2,11^2,17^2$ 1012，你发现了什么规律？算术平方根的大小与被开方数的大小有什么关系？