ZUOYETI

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A 组 1. 用“＜”“＞”或“＝”填空：

（1） $(-7)\times \left(+3\frac{1}{9}\right)$ 0；

（2） $(-13)\times (-7.9)\_0$

（3） $0\times \left(-\frac{11}{13}\right)\underline{}0$

（4） $(-1)\times \left(-\frac{1}{2}\right)\times (-1.5)\times (-1.5)$ 0。

2. 1的倒数是 $-\frac{1}{7}$ 的倒数是 ，－8的倒数是$\frac{3}{8}$ 的倒数是 ， $1\frac{4}{5}$ 的倒数是 。

3. 计算：（1） $(-1)\times \frac{9}{7}$ （2） $(-1.5)\times (-\frac{4}{5});$ （3） $\frac{10}{7}\times \left(-\frac{2}{5}\right)$ （4） $(-2)\times 3\times (-0.5)$ （5） $\left(-\frac{1}{2}\right)\times \left(-\frac{1}{6}\right)\times (-2)$ （6） $\left|-1.25\right|\times (-8)\times 4_{\circ }$

B组 4. 甲、乙两辆出租车在一条南北走向的街道上行驶，车速分别为每小时40千米和45千米。它们同时从A地出发，甲车向北，乙车向南。经过半小时，它们分别位于何处（要求用有理数的乘法来解决，记向北行驶的速度为正）？

5. 把－6表示成两个整数的积，有多少种可能性？把它们全部写出来。

正数范围内适用的乘法运算律在有理数范围内还成立吗？

合作学习

HEZUOXUEXI

计算下列各题，并比较它们的结果。

（1） $(-5)\times 2=-(5\times 2)=$

2×（－5）＝－（2×5）＝ 。

（2） $\left[2\times (-3)\right]\times (-4)=(-6)\times (-4)=$

2×［（－3）×（－4）］＝2×12＝ 。

（3） $(-3)\times \left(2+\frac{1}{3}\right)=(-3)\times \frac{7}{3}=$

$(-3)\times 2+(-3)\times \frac{1}{3}=-6-1=$ 。

你发现了什么？再换一些数试一试，把你的发现与同伴交流。

在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

$$a\times b=b\times a_{\circ }$$

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

$$(a\times b)\times c=a\times (b\times c{)}_{\circ }$$

分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。

$$a\times (b+c)=a\times b+a\times c_{\circ }$$

合理地应用有理数乘法的运算律，可以帮助我们简化有关的运算。

▶例2 计算：

（1） $(-12)\times (-37)\times \frac{5}{6}:$

（2） $-30\times (\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{4}{5});$

（3） $4.99\times (-12)$ 。

$$\begin{array}{r}\sqrt{\frac{3\pi }{8+}}\frac{\eta }{(1)}\frac{\eta }{(-12)}\times (-37)\times \frac{5}{6}\\ =37\times 12\times \frac{5}{6}\\ =37\times \left(12\times \frac{5}{6}\right)\\ =37\times 10=370;\end{array}$$

$$\begin{array}{l}(2)-30\times \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{4}{5}\right)\\ =-30\times \frac{1}{2}+(-30)\times \left(-\frac{2}{3}\right)+(-30)\times \frac{4}{5}\\ =-15+20-24=-19;\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& (3)4.99\times (-12)\\ & =(5-0.01)\times (-12)\\ & =5\times (-12)-0.01\times (-12)\\ & =-60+0.12=-59.88_{\circ }\end{array}$$

▶例3 某校体育器材室共有60个篮球。一天课外活动，有三个班级分别计划借篮球总数的 $\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}.$ 。请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，缺几个篮球？

$$\begin{array}{l}60\times (1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4})\\ =60\times 1-60\times \frac{1}{2}-60\times \frac{1}{3}-60\times \frac{1}{4}\\ =60-30-20-15\\ {=-5}_{\infty }\end{array}$$

答：不够借，还缺5个篮球。

课内练习 KENEILIANXI

1. 计算下列各式，并说明理由。

（1） $(-125)\times 7\times (-8)$

（2） $(-\frac{2}{3})\times (-\frac{7}{5})\times (-\frac{9}{14})\times \frac{3}{2};$

（3） $\frac{8}{7}\times \left(-\frac{2}{3}\right)\times \left(-3.4\right)\times 0;$

（4） $2\times 3-2\times \left(3-\frac{1}{2}\right)\mathrm{c}$

2. 利用分配律计算：

$$(1)-6\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{2});$$

$$(2)\left(\frac{1}{3}-\frac{5}{7}-\frac{2}{5}\right)\times 105_{\circ }$$

探究活动 TANJIUHUODONG

如果两个数的乘积为负数，那么这两个数中有几个负数？如果3个数的乘积为负数，那么这3个数中有几个负数？4个数呢？5个数呢？6个数呢？你发现了什么规律？请简要叙述你所发现的规律。

作业题ZUOYETI

1. 计算下列各式，并说明哪些步骤运用了乘法运算律。

（1） $(-0.25)\times 3.14\times 40$

（2） $\frac{17}{12}\times \left(-\frac{7}{5}\right)\times \left(-\frac{4}{17}\right)\times \left(-3\right)$

（3） $(-8)\times (-\frac{4}{3})\times (-1.25)\times \frac{5}{4}\circ$

2. 用简便方法计算：

（1） $12\times \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right);$

（2） $\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right)\times (-20)$

（3） $7\frac{13}{15}\times 30$ ；

（4） $-300.75\times (-4{)}_{\odot }$

3. 有1155页稿件需要打字，第一天完成 $\frac{1}{3}$ ，第二天完成 $\frac{2}{7}。$ 。问：还剩多少页稿件需打字？

4. 计算：

$$(1)\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}\times (-15)+7\times (-\frac{1}{2});$$

$$(2)-3\times 4+12\times \left(\frac{1}{3}-\frac{5}{2}\right)\circ$$

5. 用简便方法计算：

$$(1)\frac{7}{13}\times (-9)+\frac{7}{13}\times (-18)+\frac{7}{13};$$

$$(2)-147\times (-0.125)+253\times \frac{1}{8}+72\times (-\frac{1}{4})\circ$$

6. 提供一个能用算式（1－43%－37%）×2 500解决的实际问题情境，算出结果，并说明计算结果的实际意义。

阅读材料YUEDUCAILIAO

数的运算与扩充

数的运算与数的发展相伴而行，数系扩充后，规定运算法则一般遵循两个原则：一是符合现实意义。比如，我们把水位下降的量用负数表示，规定（－3）×2＝－6，表示水位每小时下降3厘米，经过2小时后就下降了6厘米。二是要满足原有的运算律。比如，计算 $(-3)\times (-2)$ ），我们可以这样考虑。

根据原有的分配律，

$$(-3)\times 2+(-3)\times (-2)=(-3)\times [2+(-2)]=(-3)\times 0=0,$$

所以（－3）×（－2）应等于 $(-3)\times 2$ 的相反数＋6，也就是说，如果希望有理数范围内的乘法运算也满足交换律、结合律、分配律等运算律，那么规定 $(-3)\times (-2)=+6$ 是合理的。

2.4 有理数的除法

为促进中小企业发展，我国针对增值税和企业所得税出台了一系列优惠政策。根据优惠政策，某企业2023年全年减少税款20万元，则平均每月减少税款多少万元？若规定缴税增加为正，减少为负，则可以如何列式计算？

我们知道，对正有理数而言，除法是乘法的逆运算。例如，从3×2＝6可得6÷3＝2或6÷2＝3。

引入负数后，对一般的有理数，除法也是乘法的逆运算。所以，由6×$(-0.4)=-2.4$ 可得 $(-2.4)÷6=-0.4$ 。

做一做

ZUOYIZUO

填空：

（1）由9×（－2）＝－18，得

（－18）÷（－2）＝（ ），（－18）÷9＝（ ）；

（2）由（－9）×2＝－18，得

（－18）÷2＝（ ），（－18）÷（－9）＝（ ）；

（3）由（－9）×（－2）＝18，得

18÷（－2）＝（ ），18÷（－9）＝（ ）；

（4）由0×a＝0（a表示不等于0的有理数），得0÷a＝（ ）。

观察上面的结果，两个有理数相除，商的符号有什么规律？商的绝对值呢？

一般地，我们有以下有理数的除法法则：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。

▶例1 计算：

（1） $(-8)÷(-4)$

（2） $(-3.2)÷0.08$

（3） $(-\frac{1}{6})÷\frac{2}{3}\circ$

想一想

解： $(1)(-8)÷(-4)=+(8÷4)=2$

（2） $(-3.2)÷0.08=-(3.2÷0.08)=-40$

（3） $(-\frac{1}{6})÷\frac{2}{3}$

$$=-(\frac{1}{6}÷\frac{2}{3})=-(\frac{1}{6}\times \frac{3}{2})=-\frac{1}{4}\circ$$

下列等式成立吗？（－8）÷（－4）$=(-8)\times \left(-\frac{1}{4}\right);$ (－ ) 1

＝(－ ) 1 23) 16 × 32 。由 此 你 能 得 出什么规律？

一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：

除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。