6.5 角与角的度量

6.5 角与角的度量

我国的扇子有着深厚的文化底蕴，不仅实用，而且还是一种艺术品，是中华民族文化的一部分。如图是一把打开的纸扇，打开的角是多少度？你是怎么测量的？

在小学，我们已初步认识了“角”。你能在图6-26中找到角的实例吗？

图 6-26

角（angle）是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫作这个角的顶点（vertex）。

角用符号“∠”表示，读作“角”，通常有以下几种表示角的方法：

1. 用三个大写字母表示。如图中的角可以表示成 $\angle ABC$ 或$\angle CBA$ ，中间的字母B表示顶点，其他两个字母A，C分别表示角的两边上的点。

图 6-27

图 6-28

2. 用一个数字或希腊字母（如 $\alpha ,\beta ,\gamma )$ 表示。如图6-28中的角分别可以表示为 $\angle 1,\angle \alpha ,\angle \beta$ 等。

3. 在不引起混淆的情况下，也可以用角的顶点字母来表示这个角。如图 6-27， $\angle ABC$ 可以表示成 $\angle B$ 。但如图 $6-28,\angle AOC$ 不能用 $\angle O$ 表示（为什么？）。

将图中的角用不同的方法表示，并填入表中。

∠1			$\angle \beta$
$\angle BCE$	$\angle ACB$	$\angle BAC$		$\angle ABC$

角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（图6-29）。起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边。

你能举出几个在现实生活中反映角是由一条射线绕其端点旋转而成的例子吗？

图 6-29

如果图6-29中的终边继续旋转，旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图 $6-30$ 。

图 6-30

在小学里，我们已经学过一个周角等于 $360^{\circ }$ ，一个平角等于 $180^{\circ }$ 。把周角等分为360份，每一份就是1°的角。我们可以用量角器测量一个角的大小。

观察图6-31中的量角器，并思考下列问题：

（1）量角器上的平角被等分成多少个1°的角？

（2）先估计图6-32中 $\angle A$ 和 $\angle B$ 的度数，再用量角器量一量。在测量中，你遇到哪些问题？

图 6-31

图 6-32

在测量角时，有时以度为单位精度还不够，我们需要用比1°更小的单位，称为分和秒。把1°的角等分成60份，每一份就是1分，记作1′；而把1分的角再等分成60份，每一份就是1秒，记作1″，即

$$1^{\circ }=60^{\prime },1^{\prime }={\left(\frac{1}{60}\right)}^{\circ };1^{\prime }=60^{\prime \prime },1^{\prime \prime }={\left(\frac{1}{60}\right)}^{\prime }\circ$$

度、分、秒是角的基本度量单位。

▶例1 用度、分、秒表示48.32°。

解：因为 $0.32^{\circ }=60^{\prime }\times 0.32=19.2^{\prime }$

ICT 计算器的按键顺序是：

$$0.2^{\prime }=60^{\prime \prime }\times 0.2=12^{\prime \prime },$$

所以 $48.32^{\circ }=48^{\circ }19{}^{\prime }12^{\prime \prime }$ 。

▶例2 用度表示 $30^{\circ }{9}^{\prime }36^{\prime \prime }$ ″。

解：因为 $36^{\prime \prime }={\left(\frac{1}{60}\right)}^{\prime }\times 36=0.6^{\prime }$

ICT 计算器的按键顺序是：

$$9.6^{\prime }={\left(\frac{1}{60}\right)}^{\circ }\times 9.6=0.16^{\circ },$$

所以 $30^{\circ }{9}^{\prime }36^{\prime \prime }=30.16^{\circ }$ 。

▶例3 计算 $180^{\circ }-(45^{\circ }17^{\prime }+52^{\circ }57^{\prime })$ 。

解： $180^{\circ }-(45^{\circ }17^{\prime }+52^{\circ }57^{\prime })=180^{\circ }-97^{\circ }74^{\prime }=180^{\circ }-98^{\circ }14^{\prime }$ $=179^{\circ }60^{\prime }-98^{\circ }14^{\prime }=81^{\circ }46^{\prime }\circ$