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4.3 节 4.4 节 4.5 节

★理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则。

★能进行简单的整数加减运算。

代数式 $3 a, \frac{3}{a}, \frac{a - b}{2}, a, a^{2} - 2 ab + 1, 5, - x y$ 中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？哪些不是整式？
分别说出下列单项式的系数和次数（填入下表）。

单项式	系数	次数
$x$
$- 2 a b^{2}$
$7 ab$

分别写出下列多项式的次数、项和相应项的系数。

（1） $2 x - 3 y - 1$

（2） $a^{2} - 0.5 a - 2$

（3） $\frac{3 ab}{4} + b c - 2 c$

合并同类项：（1） $- x + \frac{2}{5} x$ （2） $a^{2} b - a b^{2} - b a^{2}$ （3） $r^{2} + π r^{2}$ （4） $5 x y^{2} + 3 x^{2} y - x y^{2} - 2 x^{2} y - 1$
去括号：（1） $- (2 x^{2} - 3 x - 1)$ （2） $6 (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{3} x + 2)$ （3） $1000 (1 - ϕ %)$ （4） $- 2 (n + 1)$
先化简，再求值：

（1） $a - (3 a^{2} + a) - a^{2}$ ，其中 $a = - 11$ ；

（2） $- (a^{2} - 6 ab + 9) + 2 (a^{2} + 4 ab - 4.5)$ ，其中 $a = - \frac{2}{3}, b = 6.$

目标

★会运用整式的加减解决简单的实际问题。

植树节，小明种树的棵数是小聪的1.2倍，小慧种树的棵数比小明少10。设小明种了x棵树，问：他们三人一共种了多少棵树？
某公司的年销售额为a元，成本为销售额的60%，税额和其他费用合计为销售额的 $ϕ %$ 。

（1）用关于 $a, ϕ$ 的代数式表示该公司的年利润。

（2）若 $a = 8000$ 万， $ϕ = 7$ ，则该公司的年利润为多少万元？

第5章一元一次方程

方程是刻画相等关系的数学模型。例如，杭州第19届亚运会开设40个大项目，其中奥运会项目数量比非奥运会项目的3倍多4个。问：奥运会项目开设了多少个？

某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩，问：该日晷基座的底面边长是多少米？

上述问题都可用一元一次方程方便地求解。

本章将学习一元一次方程的概念、解法及应用。通过本章的学习，我们还将初步认识解决问题的策略、思想和方法。

5.1 认识方程

上海到北京的高铁的速度从250千米/时提高到350千米/时，运行时间可缩短49分钟，那么速度提高后，从上海到北京大约需要多少时间？

合作学习 HEZUOXUEXI

请根据问题中的数量关系，列出一个用字母表示未知数的等式。

（1）小明到超市购买m瓶单价为3元的水和n支单价为7元的笔共花费76元，可列出等式：。

（2）如图5-1，一个面积为15的长方形分成一个正方形和一个宽为2的长方形，问：分成的正方形的边长是多少？

图 5-1

设正方形的边长为a，可列出等式：。

（3）小强、小杰、小明参加投篮比赛，每人投了20次。小强投进10个球，小杰比小明多投进2个，三人平均每人投进14个球，问：小杰和小明各投进多少个球？

设小明投进x个球，可列出等式：。

观察你所列的等式，这些等式有什么共同点？

（请与你的同伴交流）

等式 $3 m + 7 n = 76, a^{2} + 2 a = 15, \frac{2 x + 12}{3} = 14$ 中都含有未知数，像这样含有未知数的等式叫作方程（equation）。

根据图5-1，我们不难得到 $a = 3$ 。将a＝3代入方程的两边，左边 $= 3^{2} +$ $2 \times 3 = 15 =$ 右边。

使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 $a = 3$ 就是方程 $a^{2} + 2 a = 15$ 的一个解。对于含有多个未知数的方程 $3 m + 7 n = 76$ ，当 $m = 2$ n＝10时，左边 $= 3 \times 2 + 7 \times 10 = 76 =$ 右边。我们把m＝2，n＝10这一对数叫作方程 $3 m + 7 n = 76$ 的一个解。

做一做

下列各式中，哪些是方程？如果是方程，说出方程中的未知数。（1） $a + 5 = - 8$ （2） $3 x \neq = 5$ （3） $x + y = 8$ （4） $7 + 2 = 2 + 7$ （5） $\frac{2}{x + 3} = 1 - m$
判断下列x的值是不是方程3－x＝2x的解。（1） $x = 3$ （2） $x = 1$

上页“合作学习”第（3）题所列的方程 $\frac{2 x + 12}{3} = 14$ 中，未知数x的值是多少？根据方程的解的意义，我们可以尝试用估计检验的方法。

显然， $x < 18$ 且 $x > 12$ （想一想，为什么？），不妨依次取x的值为13，14，15，16，17，代入方程左边的代数式 $\frac{2 x + 12}{3}$ ，求出代数式的值，如下表：

表 5-1

x	13	14	15	16	17
$\frac{2 x + 12}{3}$	383	403	14	443	463

当 $x = 15$ 时， $\frac{2 x + 12}{3} = 14$ ，所以x＝15就是方程 $\frac{2 x + 12}{3} = 14$ 的一个解。

先确定未知数的一个较小的取值范围，逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解。这种尝试检验的方法是解决问题的一种重要的方法。

课内练习 KENEILIANXI

一个数的平方正好比这个数的3倍大4，求这个数。设这个数是x，可列出方程：。
判断下列t的值是不是方程2t＋1＝7－t的解。（1） $t = - 2$ （2） $t = 2$
在节前语的问题中，设高铁的速度提高后，从上海到北京需要t小时，请列出一个含未知数t的方程。

作业题

ZUOYETI

A组

下列各式中，哪些是方程？如果是方程，指出方程中的未知数。（1） $3 x = 4$ （2） $\frac{3}{y} = 4$ （3）1－x （4） $1 - a^{2} = 0$ （5） $5 - 3 m = m$ （6） $3 x - 2 y = 1$
判断下列x的值是不是方程 $x^{2} = 2 x + 3$ 的解。（1） $x = - 1$ （2）x＝2 （3） $x = 3$
如图，天平左边放着3个乒乓球，右边放5.7 g的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡。如果设1个乒乓球的质量为 $x (g)$ ，请你列出一个含有未知数x的方程。

（第3题）

请填写下表，然后说出方程 $4 x - 5 = x$ 的解。

x	-1	0	1	4-3	5-3	2	7-3
4x-5	-9

如果x＝1是方程 $a x = x^{2} + 3$ 的解，那么a的值是多少？
甲、乙两名打字员各自录入同一份含有2 000字的文稿，甲比乙少用2.5分钟。已知甲每分钟比乙每分钟多打40个字，那么甲录入这份文稿用了多少分钟？设甲用了x分钟，请列出一个含有未知数x的方程。

5.2 等式的基本性质

比较左、右两个天平图，你发现了什么？

小学里已经学过“等量的等量相等”这个等式的性质，即若 $a = b, b = c$ 则 $a = c$ 。除此之外，等式还有哪些基本性质？

观察图5-2，图5-3并填空。图中的字母表示相应物品的质量，两图中天平均保持平衡。

图 5-2
图 5-3

你从上述过程中发现了等式的哪些性质？怎样用字母表示？

一般地，等式有以下的基本性质：

等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。用字母可以表示为：

如果 $a = b$ ，那么 $a \pm c = b \pm c$ 。

等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。用字母可以表示为：

如果 $a = b$ ，那么 $\nabla_{a c} = b c$ ，或 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} (c \neq = 0)$ 。

练习题

下列代数式中，哪个是单项式？

\frac{a - b}{2}

5

a

\frac{3}{a}

下列代数式中，哪个是多项式但不是整式？

a^{2} - 2 ab + 1

\frac{3}{a}

\frac{a - b}{2}

5

下列代数式中，哪些是整式？

3 a

\frac{a - b}{2}

a

5

- x y

单项式 $- 2 a b^{2}$ 的次数是3。

多项式 $2 x - 3 y - 1$ 的次数是___。

合并同类项： $- x + \frac{2}{5} x$ 。

去括号后， $- (2 x^{2} - 3 x - 1)$ 的结果是？

- 2 x^{2} + 3 x + 1

- 2 x^{2} - 3 x - 1

2 x^{2} - 3 x - 1

2 x^{2} + 3 x + 1

下列哪些是方程？

a + 5 = - 8

3 x \neq = 5

x + y = 8

7 + 2 = 2 + 7

\frac{2}{x + 3} = 1 - m

$x = 3$ 是方程 $3 - x = 2 x$ 的解。

方程 $\frac{2 x + 12}{3} = 14$ 的解是 $x =$ ___。

设小明种了 $x$ 棵树，小聪种了 $y$ 棵树，且 $x = 1.2 y$ ，小慧种了 $x - 10$ 棵树。他们三人一共种了多少棵树？

下列哪些是整式的加减运算？

(2 x^{2} + x) - [4 x^{2} - (3 x^{2} - x)]

\frac{x ^{2} + 2 y}{2 x - 3 y}

A + B

，其中

A = 2 a^{2} - a

，

B = - a^{2} - a

6 (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{3} x + 2)

1000 (1 - ϕ %)

方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值。

某公司的年销售额为 $a$ 元，成本为销售额的60%，税额和其他费用合计为销售额的 $ϕ %$ ，则该公司的年利润为___元。

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