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4.4 合并同类项

分类是一种重要的数学活动，无论在数学研究，还是在日常生活中都发挥着重要的作用。比如，某零食铺需清点一天收到的现金，里面有 1 元的硬币，5元、10元、50元、100元的纸币，怎样清点比较方便？

如图4-6，如果一块砖的外侧面面积为x，怎样计算图中残缺墙面的面积？你有哪几种方法？

残缺墙面的面积为

$4 \times 4 x - 3 x - \frac{1}{2} x = (16 - 3 - \frac{1}{2}) x =$

图 4-6

如图4-7，有甲、乙两块长方体木块，它们的长、宽、高分别为b，a，a和2b，2a，a。请完成下面的填空，并说明理由。

两块木块的体积和为

$a^{2} b + = (+) a^{2} b = \underline{a^{2} b_{\circ}}$

比较 $16 x, - 3 x$ 与 $- \frac{1}{2} x, a^{2} b$ 与 $4 a^{2} b$ 你发现了什么？

图 4-7

多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项（like terms）。所有常数项也看作同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项（combining like terms）。

合并同类项的法则是：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

做一做 ZUOYIZUO

下列各组中的两项是不是同类项？为什么？（1） $2 a^{2} b$ 与 $2 a b^{2}$ （2） $3 x y$ 与 $- \frac{1}{2} y x;$ （3） $- 2.1$ 与 $\frac{3}{4};$ （4） $2 a$ 与 $2 a b_{\circ}$
合并同类项：（1） $3 b - 5 b;$ （2） $6 x y - 10 x^{2} - 5 y x + 7 x^{2} 。$

▶例已知 $a = - \frac{1}{2}, b = 4$ ，求多项式 $2 a^{2} b - 3 a - 3 a^{2} b + 2 a$ 的值。

$2 a^{2} b - 3 a - 3 a^{2} b + 2 a = (2 a^{2} b - 3 a^{2} b) + (- 3 a + 2 a) = (2 - 3) a^{2} b + (- 3 + 2) a = - a^{2} b - a_{\circ}$

$a = - \frac{1}{2}, b = 4 2 a^{2} b - 3 a - 3 a^{2} b + 2 a = - a^{2} b - a = - (- \frac{1}{2})^{2} \times 4 - (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \circ$

想一想

可以把a和b的值直接代入原多项式进行计算吗？与先合并同类项再代入求值相比，哪种方法比较简便？

课内练习

先合并同类项，再求代数式的值。

（1） $2 x - 7 y - 5 x + 11 y - 1$ ，其中 $x = - \frac{1}{6}, y = 0.25$

（2） $5 a^{2} + 2 ab - 4 a^{2} - 4 ab$ ，其中 $a = 2, b = - 2$ 。

一投资公司投入某个项目的资金为m元，投资回报率为r。公司决定将该项目收益的20%捐给环境保护公益基金，那么该公司投资这个项目捐助多少元？获利多少元？用含字母m和r的代数式表示。投资回报率＝收益金额 / 投资金额

作业题

练习题

下列哪组中的两项是同类项？

2 a^{2} b

与

2 a b^{2}

3 x y

与

- \frac{1}{2} y x

- 2.1

与

\frac{3}{4} x

2 a

与

2 ab

以下哪些是合并同类项的法则中的关键步骤？

A. 将同类项的系数相加

B. 改变字母的指数

C. 保持字母和字母的指数不变

D. 合并所有项，无论是否同类

所有常数项都可以看作同类项。

合并同类项 $3 b - 5 b$ 的结果是 ___。

请解释什么是同类项，并给出一个例子。

合并同类项 $6 x y - 10 x^{2} - 5 y x + 7 x^{2}$ 的结果是？

x y - 3 x^{2}

x y + 3 x^{2}

- x y - 3 x^{2}

- x y + 3 x^{2}

以下哪些是合并同类项的正确步骤？

A. 识别多项式中的同类项

B. 将非同类项的系数相加

C. 将同类项的系数相加

D. 保持字母和字母的指数不变

合并同类项后，多项式的值会改变。

已知 $a = - \frac{1}{2}$ ， $b = 4$ ，多项式 $2 a^{2} b - 3 a - 3 a^{2} b + 2 a$ 合并同类项后的结果是 ___。

请说明在求多项式的值时，是先合并同类项再代入求值简便，还是直接代入求值简便，并给出一个例子。

下列哪组中的两项是同类项，并且合并后的结果为0？

3 x

与

3 y

5 a^{2} b

与

- 5 a^{2} b

2 x y

与

2 x

- 4 x^{2}

与

4 x

以下哪些多项式包含同类项？

3 x + 2 y

4 x^{2} - 3 x + 2 x^{2}

5 ab - 2 b c

7 x y - 3 y x

下列各组单项式中，是同类项的是哪一项？

2 a^{2} b

与

2 a b^{2}

3 x y

与

- \frac{1}{2} y x

- 2.1

与

\frac{3}{4} x

2 a

与

2 ab

下列哪些多项式包含同类项，并可以合并？

3 x - 5 x

6 x y - 10 x^{2} - 5 y x + 7 x^{2}

2 a^{2} b - 3 a b^{2}

4 x^{2} y + 5 x y^{2} - 2 x^{2} y

合并同类项： $4 x^{2} y - 3 x y^{2} + 2 x^{2} y - 5 x y^{2} =$ ___。

已知多项式 $M = 3 a^{2} b - 2 a b^{2} + 5 a^{2} b - a b^{2}$ ，先合并同类项，再求当 $a = 2$ ， $b = - 1$ 时，多项式 $M$ 的值。

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4.4 合并同类项