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▶例2 计算：

（1） $- \frac{3}{2} \div (- 7) \times \frac{7}{5}$ （2） $3.5 \div \frac{7}{8} \div (- \frac{3}{2})^{\circ}$

解：（1） $- \frac{3}{2} \div (- 7) \times \frac{7}{5} = + (\frac{3}{2} \div 7 \times \frac{7}{5}) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{7} \times \frac{7}{5} = \frac{3}{10};$

（2） $3.5 \div \frac{7}{8} \div (- \frac{3}{2}) = - (\frac{7}{2} \times \frac{8}{7} \times \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3} 。$

课内练习 KENEILIANXI

1.（口答）先说出商的符号，再说出商。

（1） $12 \div 4 :$

（3） $(- 36) \div (- 9)$

（2） $(- 57) \div 3$

（4） $96 \div (- 16) .$ 。

计算：

$84 \div (- 14)$

（2） $(- 1.6) \div 0.4$

（3） $0 \div (- \frac{7}{83});$

（4） $(- \frac{3}{5}) \div (- \frac{3}{25}) \circ$

计算：

（1） $(- 12) \div 4 \times (- 16)$

（2） $\frac{1}{12} \div (- \frac{5}{3}) \div (- 0.25)$ 。

下面计算正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请改正。15÷6÷2＝15÷（6÷2）＝15÷3＝5。

作业题

ZUOYETI

填空：

（1） $7 \div (- \frac{1}{7}) = 7 \times 3$ （2） $(- 21) \div (- 9) = - 21 \times_\dots -$ （3） $(- \frac{1}{2}) \div 8 = - (⟶ -);$ （4） $(- 13) \div (- 5) = + (_)_{\circ}$

计算：（1） $35 \div (- 21)$ （2） $(- 1.2) \div (- 0.8)$ （3） $(- \frac{3}{10}) \div (- \frac{3}{5})$ （4） $(- 2.4) \div \frac{6}{5} 。$

3.（1）一个数与 $- \frac{4}{3}$ 的积为 $\frac{2}{3}$ ，求这个数。

（2）一个数除以3的商为－9，求这个数。

计算：（1） $(- 8) \div 4 \times (- 3) \div$ （2） $(- 1.6) \times 0.4 \div (- 0.5)$ （3） $\frac{1}{6} \div (- \frac{4}{3}) \div (- 0.25)$ （4） $(- \frac{3}{4}) \times (- \frac{3}{2}) \div (- \frac{9}{8}) \overset{◯}{1}$

B组 5. 提供一个能用（－22.5）÷15%解决的实际问题情境，用负数表示结果，并说明结果的实际意义。

计算： $(- \frac{3}{4}) \times (- \frac{4}{3}) - 2 \div \frac{6}{5}$

2.5 有理数的乘方

假设一张厚度为0.09 mm的纸能够无限次对折，那么对折多少次后，其厚度将超过你的身高？

如图2-13，正方形的面积是 $5 \times 5$ 平方单位。为简便起见，我们把 $5 \times 5$ 记作 $5^{2}$ ，读作5的平方，即 $5 \times 5 = 5^{2} = 25$ 。

图 2-13

如图2-14，立方体的体积是 $5 \times 5 \times 5$ 立方单位。类似地，我们可以把 $5 \times 5 \times 5$ 记作 $5^{3}$ ，读作5的立方，即 $5 \times 5 \times 5 = 5^{3} = 125$ 。

一般地，在数学上我们把n个相同的因数a 相乘的积记作 $a^{n}$ ，即

$a \times a \times \dots \times a a n ↑ = a^{n} .$

这种求几个相同因数的积的运算叫作乘方（involution），乘方的结果叫作幂❶（power）。在 $a^{n}$ 中，a叫作底数（base），n叫作指数（exponent），如图 2-15。 $a^{n .}$ 读作 $^{66} a$ 的n次方”或“a的n次幂”。

一个数可以看作这个数本身的一次方。例如，5就是 $5^{1}$ ，指数1通常省略不写。二次方也叫作平方，三次方也叫作立方。

1.（口答）把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数。

（1） $(- 6) \times (- 6) \times (- 6)$ ；

（2） $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times$

把 $(- \frac{1}{2})^{5}$ 写成几个相同因数相乘的形式。

注意

幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号， $tan (- 5)^{3}, (\frac{2}{3})^{4},$

把 $(- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times \dots \times (- 2) 10 ↑ (- 2)$ 写成幂的形式。

▶例1 计算：

（1） $(- 3)^{2} :$ （2） $1. 5^{3} :$ （3） $(- \frac{4}{3})^{4}$ （4） $(- 1)^{11}$ 。

解： $(1) (- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$

（2） $1. 5^{3} = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 3.375$

（3） $(- \frac{4}{3})^{4} = (- \frac{4}{3}) \times (- \frac{4}{3}) \times (- \frac{4}{3}) \times (- \frac{4}{3}) = \frac{256}{81};$

（4） $(- 1)^{11} = - 1$ （为什么？）。

幂的符号与指数有怎样的关系？由于幂就是相同的因数相乘，根据有理数乘法法则可知：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的正整数次幂还是0。

做一做

计算：

（1） $1 0^{2}, 1 0^{3}, 1 0^{4}, 1 0^{5}$

（2） $0. 1^{2}, 0. 1^{3}, 0. 1^{4}, 0. 1_{o}^{5}$

观察上述计算结果，你发现了什么规律？

对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。

▶例2 计算：

（1） $- 3^{2};$ （2） $3 \times 2^{3}$

（3） $(3 \times 2)^{3}$ （4） $8 \div (- 2)^{3}$ 。

解： $(1) - 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9$

（2） $3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24$

（3） $(3 \times 2)^{3} = 6^{3} = 216$

（4） $8 \div (- 2)^{3} = 8 \div (- 8) = - 1$ 。

课内练习 KENEILIANXI

填空：

（1） $(\frac{2}{9})^{7}$ 表示 7 个 $\frac{2}{9}$ 相乘，叫作 $\frac{2}{9}$ 的 7 次方，也叫作 $\frac{2}{9}$ 的次幂。其中 $\frac{2}{9}$ 叫作底数，7叫作指数。

（2） $(- 3)^{10}$ 的底数是 -3 ，指数是 10， $(- 3)^{10}$ 表示10个 -3 相乘，叫作 -3 的10次方，也叫作－3的 10 次幂。

计算：

（1） $(- 5)^{3}$ ；（2） $(- \frac{3}{4})^{4}$ ；

（3） $5 \times 2^{3}$

（4） $(5 \times 2)^{3};$

（5） $(- 2)^{2} \times (- 3)^{2}$

（6） $(- 2)^{3} \div 2^{2} .$

练习题

下列哪个选项正确表示了 $(- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2)$ 的幂形式？

(- 2)^{3}

(- 2)^{4}

2^{4}

- 2^{4}

下列哪个选项正确表示了 $(- \frac{1}{3})^{3}$ 的展开形式？

- \frac{1}{3} \times - \frac{1}{3} \times - \frac{1}{3}

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} \times - \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}

以下哪些选项正确表示了幂的底数为分数或负数时的形式？

(- 5)^{3}

5^{- 3}

(\frac{2}{3})^{4}

\frac{2 ^{4}}{3}

负数的偶次幂是负数。

正数的任何次幂都是正数。

计算： $(- 3)^{2} =$ ___ 。

计算： $(- \frac{2}{3})^{3} =$ ___ 。

计算： $(- 1)^{100}$ 并解释结果。

计算： $2^{3} \times (- \frac{1}{2})^{3}$ 并解释运算顺序。

计算： $(- \frac{1}{2})^{2} \times (- 4)^{3}$ 并解释运算顺序。

下列哪个算式的结果是正数？

(- 2)^{3} \times \frac{1}{4}

(- 3)^{2} \times (- \frac{2}{3})

(- 1)^{10} \times 5

(- \frac{4}{5})^{3} \times (- \frac{5}{4})

以下哪些算式的结果为负数？

(- 2)^{3} \times 3

(- 1)^{4} \times (- 2)

(- \frac{2}{3})^{2} \times (- \frac{3}{2})

0. 5^{3} \times (- 2)

(- 3)^{2} \times \frac{2}{3}

算式 $(- \frac{3}{4})^{2} \times (- \frac{4}{3})$ 的结果为负数。

算式 $(-2)^4 \div _ = 4$ 的空白处应填入的数是 _。

计算算式 $(- \frac{1}{2})^{3} \times (- 4)^{2}$ 的结果，并说明计算过程中用到了哪些知识点。

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▶例2 计算：

▶例2 计算：

课内练习 KENEILIANXI

作业题

ZUOYETI

2.5 有理数的乘方

注意

▶例1 计算：

做一做

课内练习 KENEILIANXI

练习题

下列哪个选项正确表示了 (−2)×(−2)×(−2)×(−2) 的幂形式？

下列哪个选项正确表示了 (−31​)3 的展开形式？

以下哪些选项正确表示了幂的底数为分数或负数时的形式？

负数的偶次幂是负数。

正数的任何次幂都是正数。

计算：(−3)2= ___ 。

计算：(−32​)3= ___ 。

计算：(−1)100 并解释结果。

计算：23×(−21​)3 并解释运算顺序。

计算：(−21​)2×(−4)3 并解释运算顺序。

下列哪个算式的结果是正数？

以下哪些算式的结果为负数？

算式 (−43​)2×(−34​) 的结果为负数。

算式 (-2)^4 \div ___ = 4 的空白处应填入的数是 ___。

计算算式 (−21​)3×(−4)2 的结果，并说明计算过程中用到了哪些知识点。

下列哪个选项正确表示了 $(- 2) \times (- 2) \times (- 2) \times (- 2)$ 的幂形式？

下列哪个选项正确表示了 $(- \frac{1}{3})^{3}$ 的展开形式？

计算： $(- 3)^{2} =$ ___ 。

计算： $(- \frac{2}{3})^{3} =$ ___ 。

计算： $(- 1)^{100}$ 并解释结果。

计算： $2^{3} \times (- \frac{1}{2})^{3}$ 并解释运算顺序。

计算： $(- \frac{1}{2})^{2} \times (- 4)^{3}$ 并解释运算顺序。

算式 $(- \frac{3}{4})^{2} \times (- \frac{4}{3})$ 的结果为负数。

算式 $(-2)^4 \div _ = 4$ 的空白处应填入的数是 _。

计算算式 $(- \frac{1}{2})^{3} \times (- 4)^{2}$ 的结果，并说明计算过程中用到了哪些知识点。