正在学习

思考

观察下面的集合，集合A，B与集合C之间有什么关系？

(1) $A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 5, 8, 12}, C = {8}$

(2) $A = {x ∣ x$ 是立德中学今年在校的女同学}， $B = {x ∣ x$ 是立德中学今年在校的高一年级同学}， $C = {x ∣ x$ 是立德中学今年在校的高一年级女同学}.

在上述两个问题中，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的.

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集（intersection set），记作 $A \cap B$ （读作“A交 $B$ ” ) ，即

$A \cap B = {x ∣ x \in A, 且 x \in B},$

图1.3-3

可用Venn图（图1.3-3）表示.

这样，在上述问题(1)(2)中， $A \cap B = C$

例3 立德中学开运动会，设

$A = {x ∣ x$ 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，

$B = {x ∣ x$ 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，

求 $A \cap B$

解： $A \cap B$ 就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．所以，

$A \cap B = {x ∣ x$ 是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

例4 设平面内直线 $l_{1}$ 上点的集合为 $L_{1}$ ，直线 $l_{2}$ 上点的集合为 $L_{2}$ ，试用集合的运算表示 $l_{1}, l_{2}$ 的位置关系.

解：平面内直线 $l_{1}, l_{2}$ 可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合.

（1）直线 $l_{1}, l_{2}$ 相交于一点P可表示为

$L_{1} \cap L_{2} = {P};$

（2）直线 $l_{1}, l_{2}$ 平行可表示为

$L_{1} \cap L_{2} = \emptyset;$

（3）直线 $l_{1}, l_{2}$ 重合可表示为

$L_{1} \cap L_{2} = L_{1} = L_{2} .$

思考

下列关系式成立吗？

(1) $A \cap A = A$ ; (2) $A \cap \emptyset = \emptyset$

练习

1.设 $A = {3, 5, 6, 8}, B = {4, 5, 7, 8}$ ，求 $A \cap B, A \cup B$

2.设 $A = {x ∣ x^{2} - 4 x - 5 = 0}, B = {x ∣ x^{2} = 1}$ ，求 $A \cup B, A \cap B$

3.设 $A = {x ∣ x$ 是等腰三角形}， $B = {x ∣ x$ 是直角三角形}，求 $A \cap B, A \cup B$

4.设 $A = {x ∣ x$ 是幸福农场的汽车}， $B = {x ∣ x$ 是幸福农场的货车}，求 $A \cup B$

补集

在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围.

例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数．在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充.

在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果．例如方程 $(x - 2) (x^{2} - 3) = 0$ 的解集，在有理数范围内只有一个解2，即

${x \in Q ∣ (x - 2) (x^{2} - 3) = 0} = {2};$

在实数范围内有三个解： $2, 3, - 3$ ，即

${x \in R ∣ (x - 2) (x^{2} - 3) = 0} = {2, 3, - 3} .$

一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universal set)，通常记作U.

通常也把给定的集合作为全集.

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集（complementary set），简称为集合A的补集，记作 $∁_{U} A$ ，即

$∁_{U} A = {x ∣ x \in U, 且 x \in / A},$

可用Venn图（图1.3-4）表示.

图1.3-4

例5 设 $U = {x ∣ x$ 是小于9的正整数}， $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {3, 4, 5, 6}$ ，求 $∁_{U} A$ ， $∁_{U} B$

解：根据题意可知， $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，所以

$∁_{U} A = {4, 5, 6, 7, 8},$ $∁_{U} B = {1, 2, 7, 8} .$

例6 设全集 $U = {x ∣ x$ 是三角形}, $A = {x ∣ x$ 是锐角三角形}， $B = {x ∣ x$ 是钝角三角形}，求 $A \cap B, ∁_{U} (A \cup B)$

解：根据三角形的分类可知

$A \cap B = \emptyset,$

$A \cup B = {x ∣ x$ 是锐角三角形或钝角三角形}，

$∁_{U} (A \cup B) = {x ∣ x$ 是直角三角形}.

练习

1.已知 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ ， $A = {2, 4, 5}$ , $B = {1, 3, 5, 7}$ ，求 $A \cap (∁_{U} B), (∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$

2.设 $S = {x ∣ x$ 是平行四边形或梯形}， $A = {x ∣ x$ 是平行四边形}， $B = {x ∣ x$ 是菱形}, $C = {x ∣ x$ 是矩形} $，求$ B \cap C , \ \complement _ { A } B , \ \complement _ { S } A$

3.图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：

(1） $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ ； (2) $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$

(1)

(2)

(第3题)

习题1.3

练习题

设 $A = {1, 2, 4, 6}$ ， $B = {2, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B$ 等于哪一个集合？

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{2, 4}

{1, 6}

{3, 5}

设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ， $A = {2, 4, 6}$ 。则 $∁_{U} A$ 等于哪一个集合？

{1, 3, 5, 7, 8}

{2, 4, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

\emptyset

设平面内直线 $l_{1}$ 上点的集合为 $L_{1}$ ，直线 $l_{2}$ 上点的集合为 $L_{2}$ 。若 $L_{1} \cap L_{2} = \emptyset$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系是？

A. 相交于一点

B. 平行

C. 重合

D. 一定垂直

下列说法正确的有哪几项？

A \cap B = {x ∣ x \in A, 且 x \in B}

A \cap A = A

A \cap \emptyset = \emptyset

∁_{U} A = {x ∣ x \in U, 且 x \in / A}

A \cap B

表示属于

A

或属于

B

的所有元素组成的集合

若全集 $U$ 中所有元素都属于集合 $A$ ，则 $∁_{U} A = \emptyset$ 。

在有理数范围 $Q$ 内，方程 $(x - 2) (x^{2} - 3) = 0$ 的解集是 ${2, 3, - 3}$ 。

由全集 $U$ 中不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合，记作 ___。

设全集 $U = {x ∣ x 是三角形}$ ， $A = {x ∣ x 是锐角三角形}$ ， $B = {x ∣ x 是钝角三角形}$ 。求 $A \cap B$ 和 $∁_{U} (A \cup B)$ ，并简要说明理由。

设 $A = {1, 2}$ ， $B = {1, 2, 3}$ 。关于 $A \cap B$ 与子集关系，下列说法正确的是？

A \cap B = {3}

，且

A \cap B \subseteq A

A \cap B = {1, 2}

，且

A \cap B \subseteq A

A \cap B = {1, 2, 3}

，且

A \cap B \subseteq A

A \cap B = \emptyset

，且

A \cap B ⊈ A

若直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 重合，且它们上点的集合分别为 $L_{1}$ ， $L_{2}$ ，则 $L_1\cap L_2=___$ 。

设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ， $A = {2, 4, 6}$ ， $B = {4, 6}$ 。已知 $B \subseteq A$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B$ 等于什么？

{4, 6}

{1, 3, 5, 7, 8}

\emptyset

{2}

设 $A, B$ 都是全集 $U$ 的子集。下列说法中一定正确的是哪些？

A \cap B \subseteq A

B. 若

A \subseteq B

，则

A \cap B = A

A \cap (∁_{U} A) = \emptyset

∁_{U} A \subseteq U

E. 对任意集合

A, B

，都有

A \cap B = A \cup B

设平面内直线 $l_{1}, l_{2}$ 上点的集合分别为 $L_{1}, L_{2}$ 。若 $L_{1} \cap L_{2} = \emptyset$ ，则直线 $l_{1}, l_{2}$ 平行，并且 $\emptyset \subseteq L_{1}$ 。

设 $A = {x \in R ∣ (x - 2) (x^{2} - 3) = 0}$ ， $B = {x \in Q ∣ (x - 2) (x^{2} - 3) = 0}$ 。因为同一方程在不同研究范围内解集可能不同，所以 $A\cap B=___$ 。

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补集

练习

习题1.3

练习题

设 A={1,2,4,6}，B={2,3,4,5}，则 A∩B 等于哪一个集合？

设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={2,4,6}。则 ∁U​A 等于哪一个集合？

设平面内直线 l1​ 上点的集合为 L1​，直线 l2​ 上点的集合为 L2​。若 L1​∩L2​=∅，则直线 l1​ 与 l2​ 的位置关系是？

下列说法正确的有哪几项？

若全集 U 中所有元素都属于集合 A，则 ∁U​A=∅。

在有理数范围 Q 内，方程 (x−2)(x2−3)=0 的解集是 {2,3​,−3​}。

由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，记作 ___。

设全集 U={x∣x 是三角形}，A={x∣x 是锐角三角形}，B={x∣x 是钝角三角形}。求 A∩B 和 ∁U​(A∪B)，并简要说明理由。

设 A={1,2}，B={1,2,3}。关于 A∩B 与子集关系，下列说法正确的是？

若直线 l1​ 与直线 l2​ 重合，且它们上点的集合分别为 L1​，L2​，则 L_1\cap L_2=___。

设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={2,4,6}，B={4,6}。已知 B⊆A，则 (∁U​A)∩B 等于什么？

设 A,B 都是全集 U 的子集。下列说法中一定正确的是哪些？

设平面内直线 l1​,l2​ 上点的集合分别为 L1​,L2​。若 L1​∩L2​=∅，则直线 l1​,l2​ 平行，并且 ∅⊆L1​。

设 A={x∈R∣(x−2)(x2−3)=0}，B={x∈Q∣(x−2)(x2−3)=0}。因为同一方程在不同研究范围内解集可能不同，所以 A\cap B=___。