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第一章

集合与常用逻辑用语

我们知道，方程 $x^{2} = 2$ 在有理数范围内无解，但在实数范围内有解．在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面．因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础．为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具．事实上，集合的知识是现代数学的基础，也是高中数学的基础，在后面各章的学习中将越来越多地应用它.在本章，我们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法.

逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具．学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容．逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养．本章我们将通过常用逻辑用语的学习，理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性.

1.1 集合的概念

在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识．下面先从集合的含义开始.

看下面的例子：

（1）1～10之间的所有偶数；

（2）立德中学今年入学的全体高一学生；

（3）所有的正方形；

（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；

（5）方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的所有实数根；

（6）地球上的四大洋.

例（1）中，我们把1～10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例（2）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合.

思考

上面的例（3）到例（6）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．

给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了．例如，“1～10之间的所有偶数”构成一个集合，2，4，6，8,10 是这个集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.

我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 $a \in A$ ；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作 $a \in / A$

例如，若用A表示前面例（1）中“1～10之间的所有偶数”组成的集合，则有4∈A，3∉A，等等.

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 $N$ ；

从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还可以用什么方式表示集合呢?

列举法

“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}。

像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。

例1 用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程 $x^{2} = x$ 的所有实数根组成的集合。

解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么

$A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .$

（2）设方程 $x^{2} = x$ 的所有实数根组成的集合为B，那么

$B = {0, 1} .$

由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法。例如，例1（1）的集合还可以写成

$A = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}$

等。

思考

（1）你能用自然语言描述集合{0，3，6，9}吗？

（2）你能用列举法表示不等式 $x - 7 < 3$ 的解集吗？

描述法

不等式 $x - 7 < 3$ 的解是 $x < 10$ ，因为满足 $x < 10$ 的实数有无数个，所以 $x - 7 < 3$ 的解集无法用列举法表示。但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数，且 $x < 10$ ，把解集表示为

${x \in R ∣ x < 10} .$

又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个 $x \in Z$ ，如果它能表示为 $x = 2 k + 1 (k \in Z)$ 的形式，那么它是一个奇数；反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为 $x = 2 k + 1 (k \in Z)$ 的形式。所以， $x = 2 k + 1 (k \in Z)$ 是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为

你能用这样的方法表示偶数集吗？

${x \in Z ∣ x = 2 k + 1, k \in Z} .$

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征 $P (x)$ 的元素x所组成的集合表示为

${x \in A ∣ P (x)},$

这种表示集合的方法称为描述法。

有时也用冒号或分号代替竖线，写成

${x \in A : P (x)}$

或

${x \in A; P (x)} .$

例如，实数集R中，有限小数和无限循环小数都具有 $\frac{q}{p}$ $(p, q \in Z, p \neq = 0)$ 的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为

$Q = {x \in R ∣ x = \frac{q}{p}, p, q \in Z, p \neq = 0} .$

其中， $x = \frac{q}{p} (p, q \in Z, p \neq = 0)$ 就是所有有理数具有的共同特征。

显然，对于任何 $y \in {x \in A ∣ P (x)}$ ，都有 $y \in A$ ，且 $P (y)$ 成立。

例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：

（1）方程 $x^{2} - 2 = 0$ 的所有实数根组成的集合A；

（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B。

解：（1）设 $x \in A$ ，则x是一个实数，且 $x^{2} - 2 = 0$ 。因此，用描述法表示为

$A = {x \in R ∣ x^{2} - 2 = 0} .$

方程 $x^{2} - 2 = 0$ 有两个实数根 $2, - 2$ ，因此，用列举法表示为

$A = {2, - 2} .$

（2）设 $x \in B$ ，则x是一个整数，即 $x \in Z$ ，且 $10 < x < 20$ ，因此，用描述法表示为

$B = {x \in Z ∣ 10 < x < 20} .$

大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为 $B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}$ 。

我们约定，如果从上下文的关系看， $x \in R, x \in Z$ 是明确的，那么 $x \in R, x \in Z$ 可以省略，只写其元素 $x$ 。例如，集合 $D = {x \in R ∣ x < 10}$ 也可表示为 $D = {x ∣ x < 10}$ ；集合 $E = {x \in Z ∣ x = 2 k + 1, k \in Z}$ 也可表示为 $E = {x ∣ x = 2 k + 1, k \in Z}$ 。

思考

举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点。

练习

判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）A，B 是平面 $α$ 内的定点，在平面 $α$ 内与A，B等距离的点；

（2）高中学生中的游泳能手。

用符号 " $\in$ " 或 " $\in /$ " 填空：

0 $\in N$ ；-3 $\in Z$ ；0.5 $\in / Z$ ； $2 \in / Z$ ； $\frac{1}{3} \in Q$ ； $π \in R$

3．用适当的方法表示下列集合：

（1）由方程 $x^{2} - 9 = 0$ 的所有实数根组成的集合；

（2）一次函数 $y = x + 3$ 与 $y = - 2 x + 6$ 图象的交点组成的集合；

（3）不等式 $4 x - 5 < 3$ 的解集。

习题1.1

练习题

下列说法最能体现“使用集合语言”的主要作用的是哪一项？

A. 用集合语言可以简洁、准确地表述数学对象及研究范围

B. 用集合语言可以避免学习方程、不等式和函数

C. 用集合语言只能表示有限个对象，不能表示无限个对象

D. 用集合语言表示集合时，元素必须按从小到大的顺序排列

设 $A = {1, 2, 3}$ 。下列说法正确的是哪一项？

2 \in A

，且

4 \in / A

2 \in / A

，且

4 \in A

A \in 2

，且

4 \in / A

1, 2, 3

都不是集合

A

的元素

方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的所有实数根组成的集合用列举法表示，正确的是哪一项？

{1, 2}

{1, 1, 2}

{x \in R ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}

{0, 1, 2}

关于集合 $B = {x \in Z ∣ 10 < x < 20}$ ，下列说法正确的有哪几项？

B

可以用列举法表示为

{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}

11 \in B

，且

20 \in / B

B = {19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11}

B

中的元素可以重复写成

{11, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}

B

是由满足共同特征“

x \in Z

且

10 < x < 20

”的元素组成的集合

下列对象的全体能构成集合的有哪几项？

A. 小于

10

的所有自然数

B. 高中学生中的“学习较好”的学生

C. 方程

x^{2} = 2

的所有实数根

D. 地球上的四大洋

E. 平面内到定点

O

的距离等于定长

r

的所有点

集合 ${0, 1, 2}$ 与集合 ${2, 1, 0}$ 相等。

不等式 $x - 7 < 3$ 的实数解集可以方便地用列举法完整写出。

在描述法 ${x \in A ∣ P (x)}$ 中，若 $y \in {x \in A ∣ P (x)}$ ，则一定有 $y \in A$ 且 $P (y)$ 成立。

全体非负整数组成的集合称为非负整数集或自然数集，记作 ___。

有理数集可表示为 $Q = {x \in R ∣ x = \frac{q}{p}, p, q \in Z, p \neq = 0}$ ，其中条件 $p \neq = 0$ 是为了保证分母不为 ___。

请用描述法表示偶数集，并说明它与奇数集的描述法有什么共同思想。

结合“学好数学要仔细阅读、独立思考”的学习方法，说明为什么判断“较小的数”不能构成集合时，要先明确元素是否确定。

已知集合 $A = {x \in R ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ 。下列说法正确的是哪一项？

A = {1, 2}

，因为方程的实数根可以作为集合的元素列举出来

A = {2, 1, 1}

，因为方程有根

1

和

2

，且元素可以重复出现

A

不能构成集合，因为方程根是不确定的

1 \in / A

，因为

1

不是实数

关于集合语言在表达数学对象中的作用，下列说法正确的有哪几项？

A. 集合语言可以简洁、准确地表述研究对象和研究范围

B. 若

B = {x \in Z ∣ 10 < x < 20}

，则

15 \in B

C. 若

C = {x \in R ∣ x < 10}

，则它适合用描述法表示，因为满足条件的实数有无数个

D. “较小的数”能构成集合，因为每个人都能凭感觉判断大小

E. 常用逻辑用语与集合语言无关，不能帮助表达数学对象

判断正误：集合 ${x \in Z ∣ x = 2 k + 1, k \in Z}$ 表示全体奇数；若上下文已明确 $x \in Z$ ，也可以简写为 ${x ∣ x = 2 k + 1, k \in Z}$ 。这种写法体现了用集合语言刻画一类事物的方法。

不等式 $x - 7 < 3$ 的实数解集有无数个，不宜用列举法表示；利用元素的共同特征，可表示为 ${x \in R ∣ x < 10}$ ，这种表示集合的方法叫做___。

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第一章

第一章

集合与常用逻辑用语

1.1 集合的概念

思考

列举法

思考

描述法

思考

练习

习题1.1

练习题

下列说法最能体现“使用集合语言”的主要作用的是哪一项？

设 A={1,2,3}。下列说法正确的是哪一项？

方程 x2−3x+2=0 的所有实数根组成的集合用列举法表示，正确的是哪一项？

关于集合 B={x∈Z∣10<x<20}，下列说法正确的有哪几项？

下列对象的全体能构成集合的有哪几项？

集合 {0,1,2} 与集合 {2,1,0} 相等。

不等式 x−7<3 的实数解集可以方便地用列举法完整写出。

在描述法 {x∈A∣P(x)} 中，若 y∈{x∈A∣P(x)}，则一定有 y∈A 且 P(y) 成立。