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16．证明：

$(1) cos 4 α + 4 cos 2 α + 3 = 8 cos^{4} α;$

$(2) \frac{1 + sin 2 α}{2 cos ^{2} α + sin 2 α} = \frac{1}{2} tan α + \frac{1}{2};$

$(3) \frac{sin ( 2 α + β )}{sin α} - 2 cos (α + β) = \frac{sin β}{sin α};$

$(4) \frac{3 - 4 cos 2 A + cos 4 A}{3 + 4 cos 2 A + cos 4 A} = tan^{4} A .$

17．已知 $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ ， $0 ⩽ α ⩽ π$ ，求 $sin (2 α - \frac{π}{4})$ 的值．

18．已知 $cos (\frac{π}{4} + x) = \frac{3}{5}$ ， $\frac{17 π}{12} < x < \frac{7 π}{4}$ ，求 $\frac{s i n 2 x + 2 s i n ^{2} x}{1 - t a n x}$ 的值．

19．已知 $sin θ + cos θ = 2 sin α$ ， $sin θ cos θ = sin^{2} β$ ，求证 $4 cos^{2} 2 α = cos^{2} 2 β$ ．

20．已知函数 $f (x) = cos^{4} x - 2 sin x cos x - sin^{4} x$ ．

（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；

（2）当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值以及取得最小值时 $x$ 的集合．

21．已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{6}) + sin (x - \frac{π}{6}) + cos x + a$ 的最大值为1，

（1）求常数 $a$ 的值；

（2）求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

（3）求使 $f (x) ⩾ 0$ 成立的 $x$ 的取值集合．

22．已知函数 $f (x) = 3 sin 2 x + 2 cos^{2} x + m$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为6，

（1）求常数 $m$ 的值；

（2）当 $x \in R$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值，以及相应 $x$ 的集合．

23．如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $P$ ， $Q$ 分别为边 $A B$ ， $D A$ 上的点．当 $△ A P Q$ 的周长为2时，求 $∠ P C Q$ 的大小．

(第23题)

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24．已知 $sin β + cos β = \frac{1}{5}$ ， $β \in (0, π)$ ，

（1）求 $tan β$ 的值；

（2）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？

25．如图，已知直线 $l_{1} // l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 之间的一定点，并且点 $A$ 到 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离分别为 $h_{1}$ 、 $h_{2}$ 。 $B$ 是直线 $l_{2}$ 上一动点，作 $A C ⊥ A B$ ，且使 $A C$ 与直线 $l_{1}$ 交于点 $C$ ．设 $∠ A B D = α$ ．

(第25题)

（1）写出 $△ A B C$ 的面积 $S$ 关于角 $α$ 的函数解析式 $S (α)$ ；

（2）画出上述函数的图象；

（3）由(2)中的图象求 $S (α)$ 的最小值．

26．英国数学家泰勒给出如下公式：

$sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots,$

$cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \frac{x ^{6}}{6 !} + \dots,$

其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$ ．

这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用前三项计算 $cos 0.3$ ，就得到 $cos 0.3 \approx 1 - \frac{0. 3 ^{2}}{2 !} + \frac{0. 3 ^{4}}{4 !} = 0.9553375$ ．

试用你的计算工具计算 $cos 0.3$ ，并与上述结果比较．

27．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.

（1）如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个量满足 $θ = 9 0^{\circ} - ∣ φ - δ ∣$ 。某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值)．下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：

(第27题）

项目	观测站
项目	A	B	C
观测站所在纬度φ/度	40.0000	23.4393	0.0000
观测站正午太阳高度角θ/度	66.3870	82.9464	73.6141
太阳直射点的纬度δ/度
太阳直射点的纬度平均值/度

练习题

化简函数 $f (x) = cos^{4} x - 2 sin x cos x - sin^{4} x$ 并判断其最小正周期。下列结论正确的是哪一个？

f (x) = cos 2 x - sin 2 x

，最小正周期为

π

f (x) = cos 2 x - sin x

，最小正周期为

2 π

f (x) = 1 - sin 2 x

，最小正周期为

π

f (x) = cos^{2} 2 x - sin 2 x

，最小正周期为

\frac{π}{2}

已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{6}) + sin (x - \frac{π}{6}) + cos x + a$ 的最大值为 $1$ 。下列说法正确的是哪些？

sin (x + \frac{π}{6}) + sin (x - \frac{π}{6}) = 3 sin x

f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6}) + a

a = - 1

f (x)

的单调递减区间为

[\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{4 π}{3} + 2 k π]

，

k \in Z

E. 使

f (x) ⩾ 0

的

x

的取值集合为

[2 k π, \frac{2 π}{3} + 2 k π]

，

k \in Z

已知 $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ ， $0 ⩽ α ⩽ π$ ，则 $\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=___$ 。

用前三项泰勒展开近似计算得到 $cos 0.3 \approx 0.9553375$ ，再利用二倍角公式 $cos 0.6 = 2 cos^{2} 0.3 - 1$ ，可得 $cos 0.6 \approx 0.82537$ 。

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练习题

化简函数 f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x 并判断其最小正周期。下列结论正确的是哪一个？

已知 f(x)=sin(x+6π​)+sin(x−6π​)+cosx+a 的最大值为 1。下列说法正确的是哪些？

已知 sinα−cosα=51​，0⩽α⩽π，则 \sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=___。

用前三项泰勒展开近似计算得到 cos0.3≈0.9553375，再利用二倍角公式 cos0.6=2cos20.3−1，可得 cos0.6≈0.82537。

化简函数 $f (x) = cos^{4} x - 2 sin x cos x - sin^{4} x$ 并判断其最小正周期。下列结论正确的是哪一个？

已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{6}) + sin (x - \frac{π}{6}) + cos x + a$ 的最大值为 $1$ 。下列说法正确的是哪些？

已知 $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ ， $0 ⩽ α ⩽ π$ ，则 $\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=___$ 。

用前三项泰勒展开近似计算得到 $cos 0.3 \approx 0.9553375$ ，再利用二倍角公式 $cos 0.6 = 2 cos^{2} 0.3 - 1$ ，可得 $cos 0.6 \approx 0.82537$ 。