复习巩固

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1.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并且把S中适合不等式 $-2\pi ⩽\beta <4\pi$ 的元素 $\beta$ 写出来： (1) $\frac{\pi }{4};$ (2）$1\frac{2}{3}\pi ;$ (3） $\frac{12}{5}\pi ;$ (4）0.

2．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数（精确到1°).

3．（1）已知 $\cos \phi =\frac{1}{4}$ ，求 $\sin \phi ,\tan \phi .$

（2）已知 $\sin x=2\cos x$ ，求角x的三个三角函数值.

4.已知 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$ ，计算： (1) $\frac{\sin \alpha +2\cos \alpha }{5\cos \alpha -\sin \alpha };$ (2) $\frac{1}{2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha };$ (3) $\sin \alpha \cos \alpha ;$ (4) $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2$

5．计算（可用计算工具，第(2)(3)题精确到0.000 1)：

(1) $\sin \frac{25}{6}\pi +\cos \frac{25}{3}\pi +\tan (-\frac{25}{4}\pi )$ ； (2) $\sin 2+\cos 3+\tan 4;$

(3） $\cos (\sin 2)$

6.设 $\pi <x<2\pi$ ，填表：

x	$\frac{7\pi }{6}$				$\frac{7\pi }{4}$
sin x				-1
cos x		$-\frac{\sqrt{2}}{2}$				$\frac{\sqrt{3}}{2}$
tan x			$\sqrt{3}$

7．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大、最小值的x的集合：(1) $y=\sqrt{2}+\frac{\sin x}{\pi };$ (2) $y=3-2\cos x.$

8．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出分别由函数 $y=\sin x,x\in \mathbf{R}$ 的图象经过怎样的变换得到：

(1) $y=\frac{1}{2}\sin \left(3x-\frac{\pi }{3}\right)$； (2) $y=-2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$； (3) $y=1-\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)$； (4) $y=3\sin \left(\frac{\pi }{6}-\frac{x}{3}\right)$．

9．（1）用描点法画出函数 $y=\sin x,x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 的图象．

（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得到函数 $y=\sin x,x\in [0,2\pi ]$ 的图象？

（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得到函数 $y=\sin (x+\phi )+k,x\in [0,2\pi ]$（$\phi$，$k$都是常数）的图象？

10．不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得到它们的图象：

(1) $y=\sin \left(5x+\frac{\pi }{6}\right)$； (2) $y=2\sin \frac{1}{6}x$．

11．（1）已知$\alpha$，$\beta$都是锐角，$\sin \alpha =\frac{4}{5}$，$\cos (\alpha +\beta )=\frac{5}{13}$，求$\sin \beta$的值；

（2）已知$\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{3}{5}$，$\sin \left(\frac{5\pi }{4}+\beta \right)=-\frac{12}{13}$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$，$\beta \in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$，求$\sin (\alpha +\beta )$的值；

（3）已知$\alpha$，$\beta$都是锐角，$\tan \alpha =\frac{1}{7}$，$\sin \beta =\frac{\sqrt{10}}{10}$，求$\tan (\alpha +2\beta )$的值．

12．（1）证明 $\tan \alpha +\tan \beta =\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha \tan \beta \tan (\alpha +\beta )$；

（2）求 $\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\sqrt{3}\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }$ 的值；

（3）若 $\alpha +\beta =\frac{3\pi }{4}$，求 $(1-\tan \alpha )(1-\tan \beta )$ 的值；

（4）求 $\frac{\tan 20^{\circ }+\tan 40^{\circ }+\tan 120^{\circ }}{\tan 20^{\circ }\tan 40^{\circ }}$ 的值．

13．化简：

（1）$\frac{1}{\sin 10^{\circ }}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ }}$； （2）$\sin 40^{\circ }(\tan 10^{\circ }-\sqrt{3})$；

（3）$\tan 70^{\circ }\cos 10^{\circ }(\sqrt{3}\tan 20^{\circ }-1)$； （4）$\sin 50^{\circ }(1+\sqrt{3}\tan 10^{\circ })$．

14．（1）已知 $\cos \theta =-\frac{3}{5}$，$\pi <\theta <\frac{3\pi }{2}$，求 ${\left(\sin \frac{\theta }{2}-\cos \frac{\theta }{2}\right)}^2$ 的值；

（2）已知 $\sin \frac{\alpha }{2}-\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{5}$，求 $\sin \alpha$ 的值；

（3）已知 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =\frac{5}{9}$，求 $\sin 2\theta$ 的值；

（4）已知 $\cos 2\theta =\frac{3}{5}$，求 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$ 的值．

15．（1）已知 $\cos (\alpha +\beta )=\frac{1}{5}$，$\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$，求 $\tan \alpha \tan \beta$ 的值；

（2）已知 $\cos \alpha +\cos \beta =\frac{1}{2}$，$\sin \alpha +\sin \beta =\frac{1}{3}$，求 $\cos (\alpha -\beta )$ 的值．