二、回顾与思考

二、回顾与思考

现实世界中存在着大量周期现象，任意角的三角函数就是刻画这种现象的基本而有效的数学模型.

为了建立三角函数概念，本章我们先把角的范围推广到任意角，并引进弧度制；然后借助单位圆建立了一般三角函数的概念．接着，利用单位圆的性质（主要是对称性)，用几何直观和代数运算的方法研究了三角函数的周期性、对称性、单调性和最大（小）值等性质，和（差）角公式、倍角公式等反映了三角函数之间的内在联系，也是圆的几何性质的代数表示，我们借助单位圆，通过代数运算对这些关系进行了研究，最后，利用三角函数的概念和性质，建立了具有广泛应用价值的函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ ，并用它解决了许多实际问题.

根据第三章给出的概念，函数是两个实数集之间的对应．这样，我们不仅可以对各种函数进行加、减、乘、除等运算，还可以在自变量与函数值之间进行运算，从而使函数具有更广泛的应用，弧度制的本质是用长度单位来度量角的大小，统一了三角函数自变量和函数值的单位，从而使三角函数成为从实数集到实数集之间的对应．如果只用角度制，那么将导致自变量是60进位的角度、函数值是10进位的实数，例如 $60^{\circ }+\sin 60^{\circ }$ 之类的运算将失去意义，所以，弧度制的引入对建立任意角的三角函数概念是至关重要的．在本章中已经看到，三角函数可以刻画振动、波动等大量周期现象，它们的自变量不是角度，而是时间、距离等其他量，这也说明了引入弧度制的必要性．在今后的学习中，我们还会不断体验到引入弧度制对拓展三角函数应用范围的必要性.

将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而建立正弦函数、余弦函数．因此，正弦函数、余弦函数的性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系．例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为2π与正弦函数、余弦函数的周期为2π是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的；等等．因此，在研究三角函数时，单位圆的作用非常重要.

周期性是三角函数最重要的性质，利用周期性，我们只要研究清楚三角函数在一个最小正周期内的性质即可；除了奇偶性外，三角函数还有非常丰富的对称性，诱导公式就是三角函数对称性的体现．利用周期性、奇偶性和诱导公式等可以发现，x轴上的点 $(k\pi ,0)(k\in \mathbf{Z})$ 都是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称中心，而直线 $x=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$ 则都是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称轴．对于余弦函数、正切函数可以得到类似的结论.

本章出现了大量三角公式，这些公式具有紧密的联系．其中，和（差）角公式具有一般意义，诱导公式、倍角公式等都可以看作它的特例．学习时要充分利用这种联系性，避免对公式的死记硬背.

三角函数是一类特殊的周期函数，在研究三角函数时，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象（运动)，也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角三角函数建立联系．这种关系可以用以下框图表示：

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！

1．从本章的学习中可以看到，弧度制的引入为三角函数的研究奠定了基础.你能概括一下引入弧度制的必要性吗？

2．回顾三角函数的定义方法，说说它与幂函数、指数函数的定义方法的共性和差异性.

3．单位圆在三角函数的研究中有非常重要的作用．你能借助单位圆，自己归纳一下研究三角函数的图象与性质的过程与方法吗？

4．两角差的余弦公式 ${\mathrm{C}}_{(\alpha -\beta )}$ 不仅是和（差）角公式的基础，也可以看成诱导公式的一般化，你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导这些公式的过程中用到了哪些数学思想方法？

5．函数y=Asin(ωx十φ)在刻画周期现象时有着非常重要的作用，其中参数ω，φ，A都有相应的实际意义．你能借助匀速圆周运动或其他周期现象（如简谐振动、单摆等)，说明这些参数的意义，以及它们的变化对函数图象的影响吗？

6．你能针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数据，并利用这些数据为这种周期现象建立一个函数模型吗？

复习参考题5