5.7三角函数的应用

5.7三角函数的应用

现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用.

问题1某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如表5.7-1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.

表5.7-1

振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=A sin(ωt+φ)来刻画.

根据已知数据作出散点图，如图5.7-1所示.

请你查阅资料，了解振子的运动原理.

图5.7-1

由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A=20；振子振动的周期为0.6 s，即 $\frac{2\pi }{\omega }=0.6$ ，解得 $\omega =\frac{10\pi }{3}$ ；再由初始状态（t=0）振子的位移为－20，得 $\sin \phi =-1$ ，可取 $\phi =-\frac{\pi }{2}$ ．所以振子位移关于时间的函数解析式为

$$y=20\sin \left(\frac{10\pi }{3}t-\frac{\pi }{2}\right),t\in [0,+\infty ).$$

现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”。可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 $y=A\sin (\omega x+\phi ),x\in [0,+\infty )$ 表示，其中 $A>0,\omega >0$ ．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：

A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；

这个简谐运动的周期是 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；

这个简谐运动的频率由公式 $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$ 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；

$\omega x+\phi$ 称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.

问题2 图5.7-2(1)是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象.将测得的图象放大，得到图5.7-2(2).

（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；

请你查阅资料，了解交变电流的产生原理.

（2）当 $t=0,\frac{1}{600},\frac{1}{150},\frac{7}{600},\frac{1}{60}$ 时，求电流i.

(1)

图5.7-2
(2)

由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可用 $i=A\sin (\omega t+\phi )$ 来刻画，其中 $\frac{\omega }{2\pi }$ 表示频率，A表示振幅， $\phi$ 表示初相.

由图5.7-2(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5；电流变化的周期为 $\frac{1}{50}\mathrm{s}$ ，频率为 $50\mathrm{Hz}$ ，即 $\frac{\omega }{2\pi }=50$ ，解得 $\omega =100\pi$ ；再由初始状态（t＝0）的电流约为4.33A，可得 $\sin \phi =0.866$ ，因此 $\phi$ 约为 $\frac{\pi }{3}$ ．所以电流i随时间t变化的函数解析式是

$$i=5\sin \left(100\pi t+\frac{\pi }{3}\right),t\in [0,+\infty ).$$

当t=0时， $i=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ ；

当 $t=\frac{1}{600}$ 时，i=5;

当 $t=\frac{1}{150}$ 时，i=0;

当 $t=\frac{7}{600}$ 时，i=-5;

当 $t=\frac{1}{60}$ 时，i=0.