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补全步骤2和3的函数及图象.

补全步骤2和3的函数及图象. 从上述步骤可以清楚地看到，参数A，ω，φ是如何对函数图象产生影响的.

例1画出函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的简图.

解：先画出函数 $y = sin x$ 的图象；再把正弦曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = sin (x - \frac{π}{6})$ 的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$ ，得到函数 $y =$ $sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的图象，如图5.6-7所示.

图5.6-7

下面用“五点法”画函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 在一个周期 $(T = \frac{2 π}{3})$ 内的图象.

令 $X = 3 x - \frac{π}{6}$ ，则 $x = \frac{1}{3} (X + \frac{π}{6})$ ，列表（表5.6-1)，描点画图（图5.6-8).

表5.6-1

X	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{18}$	$\frac{2 π}{9}$	$\frac{7 π}{18}$	$\frac{5 π}{9}$	$\frac{13 π}{18}$
y	0	2	0	-2	0

图5.6-8

例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 30 min.

（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t min$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，求在转动一周的过程中，H 关于t的函数解析式；

图5.6-9

（2）求游客甲在开始转动 $5 min$ 后距离地面的高度；

（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 $h$ （单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1).

分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.

解：如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.

（1）设 $t = 0 min$ 时，游客甲位于点 $P (0, - 55)$ ，以OP为终边的角为 $- \frac{π}{2}$ ；根据摩天轮转一周大约需要 $30 min$ ，可知座舱转动的角速度约为 $\frac{π}{15} rad/min$ ，由题意可得

$H = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65, 0 ⩽ t ⩽ 30.$

图5.6-10

(2）当t=5时，

$H = 55 sin (\frac{π}{15} \times 5 - \frac{π}{2}) + 65 = 37.5.$

所以，游客甲在开始转动5min 后距离地面的高度约为37.5 m.

（3）如图5.6-10，设甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则 $∠ A O B = \frac{2 π}{48} = \frac{π}{24} .$ 经过t min后甲距离地面的高度为 $H_{1} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ ，点B相对于点A始终落后 $\frac{π}{24} rad .$ 此时乙距离地面的高度为 $H_{2} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{13 π}{24}) + 65$ ，则甲、乙距离地面的高度差 $h =∣ H_{1} - H_{2} ∣= 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) - sin (\frac{π}{15} t - \frac{13 π}{24}) = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + sin (\frac{13 π}{24} - \frac{π}{15} t)$ 利用 $sin θ + sin φ = 2 sin \frac{θ + φ}{2} cos \frac{θ - φ}{2}$ ，可得

$h = 110 sin \frac{π}{48} sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{48}), 0 ⩽ t ⩽ 30.$

当 $\frac{π}{15} t - \frac{π}{48} = \frac{π}{2} (或 \frac{3 π}{2})$ ，即t≈7.8(或22.8)时，h 的最大值为 $110 sin \frac{π}{48} \approx 7.2.$ 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m.

练习题

要由 $y = sin x$ 的图象通过变换得到 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的图象，下列步骤顺序正确的是哪一项？

A. 先向右平移

\frac{π}{6}

，再把横坐标变为原来的

\frac{1}{3}

，最后把纵坐标变为原来的

2

倍

B. 先向左平移

\frac{π}{6}

，再把横坐标变为原来的

3

倍，最后把纵坐标变为原来的

2

倍

C. 先把纵坐标变为原来的

2

倍，再向左平移

\frac{π}{6}

，最后把横坐标变为原来的

\frac{1}{3}

D. 先把横坐标变为原来的

3

倍，再向右平移

\frac{π}{6}

，最后把纵坐标变为原来的

\frac{1}{2}

用“五点法”作 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 在一个周期内的图象时，令 $X = 3 x - \frac{π}{6}$ 。当 $X = \frac{π}{2}$ 时，对应的 $x$ 值为多少？

\frac{π}{18}

\frac{2 π}{9}

\frac{7 π}{18}

\frac{5 π}{9}

某摩天轮转一周需要 $30 min$ 。若用三角函数描述座舱的匀速圆周运动，则它的角速度约为多少？

\frac{π}{30} rad/min

\frac{π}{15} rad/min

\frac{2 π}{15} rad/min

15 π rad/min

关于函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ ，下列说法正确的有哪几项？

A. 振幅为

2

B. 周期为

\frac{2 π}{3}

C. 用五点法时可令

X = 3 x - \frac{π}{6}

D. 在一个周期内，五点法中

X

通常取

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π

E. 它的最大值为

3

某摩天轮最高点距地面 $120 m$ ，转盘直径为 $110 m$ ，游客从最低点进舱，转一周约需 $30 min$ 。关于模型 $H = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ ，下列说法正确的有哪几项？

55

表示摩天轮半径

65

表示摩天轮轴心距地面的高度

\frac{π}{15}

表示座舱转动的角速度

D. 当

t = 0

时，游客位于最低点，高度为

10 m

E. 当

t = 5

时，游客高度为

65 m

用五点法作 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的一个周期图象时，五个关键点的纵坐标依次为 $0, 2, 0, - 2, 0$ 。

在摩天轮模型中，若有 $48$ 个等间隔座舱，则相邻两个座舱对应的圆心角为 $\frac{π}{24}$ 。

在例题的摩天轮中，甲的高度函数为 $H_{1} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ ，乙所在相邻座舱相对甲落后 $\frac{π}{24}$ ，则乙的高度函数为 $H_{2} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{13 π}{24}) + 65$ 。两人的高度差最大值为 ___。

简述如何用三角函数建立摩天轮游客高度 $H$ 关于时间 $t$ 的模型。

已知相邻座舱的高度分别为 $H_{1} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ 与 $H_{2} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{13 π}{24}) + 65$ 。说明如何化简两人的高度差 $h = ∣ H_{1} - H_{2} ∣$ 。

要用图象变换作函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的简图，下列步骤顺序正确的是哪一项？

A. 先将

y = sin x

向右平移

\frac{π}{6}

，再将横坐标变为原来的

\frac{1}{3}

，最后将纵坐标变为原来的

2

倍

B. 先将

y = sin x

向左平移

\frac{π}{6}

，再将横坐标变为原来的

3

倍，最后将纵坐标变为原来的

2

倍

C. 先将

y = sin x

向右平移

\frac{π}{18}

，再将横坐标变为原来的

\frac{1}{3}

，最后将纵坐标变为原来的

2

倍

D. 先将

y = sin x

向右平移

\frac{π}{6}

，再将纵坐标变为原来的

\frac{1}{3}

，最后将横坐标变为原来的

2

倍

用“五点法”作 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 一个周期内的图象时，令 $X = 3 x - \frac{π}{6}$ 。当 $X = \frac{π}{2}$ 时， $x=___$ 。

某摩天轮半径为 $55 m$ ，轴心距地面 $65 m$ ，转一周用时 $30 min$ ，游客从最低点开始随座舱逆时针匀速转动。关于高度函数 $H = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ ，下列说法正确的有哪几项？

A. 参数

55

表示高度相对于轴心高度上下变化的最大幅度

B. 参数

65

表示摩天轮轴心距离地面的高度

C. 角速度为

\frac{π}{15} rad/min

，所以周期为

30 min

D. 当

t = 0

时，

H = 120

E. 研究

H

的周期性，可以转化为研究正弦型函数

55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2})

的周期性

判断正误：在摩天轮相邻座舱高度差问题中，若两座舱相差圆心角 $\frac{π}{24}$ ，则高度差可通过正弦和差化积公式化为 $h = 110 sin \frac{π}{48} sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{48})$ ，因此其最大值为 $110 sin \frac{π}{48}$ 。

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补全步骤2和3的函数及图象.

练习题

要由 y=sinx 的图象通过变换得到 y=2sin(3x−6π​) 的图象，下列步骤顺序正确的是哪一项？

用“五点法”作 y=2sin(3x−6π​) 在一个周期内的图象时，令 X=3x−6π​。当 X=2π​ 时，对应的 x 值为多少？

某摩天轮转一周需要 30 min。若用三角函数描述座舱的匀速圆周运动，则它的角速度约为多少？

关于函数 y=2sin(3x−6π​)，下列说法正确的有哪几项？

某摩天轮最高点距地面 120 m，转盘直径为 110 m，游客从最低点进舱，转一周约需 30 min。关于模型 H=55sin(15π​t−2π​)+65，下列说法正确的有哪几项？

用五点法作 y=2sin(3x−6π​) 的一个周期图象时，五个关键点的纵坐标依次为 0,2,0,−2,0。

在摩天轮模型中，若有 48 个等间隔座舱，则相邻两个座舱对应的圆心角为 24π​。

在例题的摩天轮中，甲的高度函数为 H1​=55sin(15π​t−2π​)+65，乙所在相邻座舱相对甲落后 24π​，则乙的高度函数为 H2​=55sin(15π​t−2413π​)+65。两人的高度差最大值为 ___。

简述如何用三角函数建立摩天轮游客高度 H 关于时间 t 的模型。

已知相邻座舱的高度分别为 H1​=55sin(15π​t−2π​)+65 与 H2​=55sin(15π​t−2413π​)+65。说明如何化简两人的高度差 h=∣H1​−H2​∣。

要用图象变换作函数 y=2sin(3x−6π​) 的简图，下列步骤顺序正确的是哪一项？

用“五点法”作 y=2sin(3x−6π​) 一个周期内的图象时，令 X=3x−6π​。当 X=2π​ 时，x=___。

某摩天轮半径为 55 m，轴心距地面 65 m，转一周用时 30 min，游客从最低点开始随座舱逆时针匀速转动。关于高度函数 H=55sin(15π​t−2π​)+65，下列说法正确的有哪几项？

判断正误：在摩天轮相邻座舱高度差问题中，若两座舱相差圆心角 24π​，则高度差可通过正弦和差化积公式化为 h=110​sin48π​sin(15π​t−48π​)​，因此其最大值为 110sin48π​。

要由 $y = sin x$ 的图象通过变换得到 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的图象，下列步骤顺序正确的是哪一项？

用“五点法”作 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 在一个周期内的图象时，令 $X = 3 x - \frac{π}{6}$ 。当 $X = \frac{π}{2}$ 时，对应的 $x$ 值为多少？

某摩天轮转一周需要 $30 min$ 。若用三角函数描述座舱的匀速圆周运动，则它的角速度约为多少？

关于函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ ，下列说法正确的有哪几项？

某摩天轮最高点距地面 $120 m$ ，转盘直径为 $110 m$ ，游客从最低点进舱，转一周约需 $30 min$ 。关于模型 $H = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ ，下列说法正确的有哪几项？

用五点法作 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的一个周期图象时，五个关键点的纵坐标依次为 $0, 2, 0, - 2, 0$ 。

在摩天轮模型中，若有 $48$ 个等间隔座舱，则相邻两个座舱对应的圆心角为 $\frac{π}{24}$ 。

在例题的摩天轮中，甲的高度函数为 $H_{1} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ ，乙所在相邻座舱相对甲落后 $\frac{π}{24}$ ，则乙的高度函数为 $H_{2} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{13 π}{24}) + 65$ 。两人的高度差最大值为 ___。

简述如何用三角函数建立摩天轮游客高度 $H$ 关于时间 $t$ 的模型。

已知相邻座舱的高度分别为 $H_{1} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ 与 $H_{2} = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{13 π}{24}) + 65$ 。说明如何化简两人的高度差 $h = ∣ H_{1} - H_{2} ∣$ 。

要用图象变换作函数 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的简图，下列步骤顺序正确的是哪一项？

用“五点法”作 $y = 2 sin (3 x - \frac{π}{6})$ 一个周期内的图象时，令 $X = 3 x - \frac{π}{6}$ 。当 $X = \frac{π}{2}$ 时， $x=___$ 。

某摩天轮半径为 $55 m$ ，轴心距地面 $65 m$ ，转一周用时 $30 min$ ，游客从最低点开始随座舱逆时针匀速转动。关于高度函数 $H = 55 sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{2}) + 65$ ，下列说法正确的有哪几项？

判断正误：在摩天轮相邻座舱高度差问题中，若两座舱相差圆心角 $\frac{π}{24}$ ，则高度差可通过正弦和差化积公式化为 $h = 110 sin \frac{π}{48} sin (\frac{π}{15} t - \frac{π}{48})$ ，因此其最大值为 $110 sin \frac{π}{48}$ 。