2. 探索 $\omega (\omega > 0)$ 对 $y = \sin(\omega x + \varphi)$ 图象的影响

2. 探索 $\omega (\omega >0)$ 对 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 图象的影响

下面，仍然通过数学实验来探索。如图5.6-5，取圆的半径 $A=1$ 。为了研究方便，不妨令 $\phi =\frac{\pi }{6}$ 。当 $\omega =1$ 时得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象。

图5.6-5

探究

取 $\omega =2$ ，图象有什么变化？取 $\omega =\frac{1}{2}$ 呢？取 $\omega =3,\omega =\frac{1}{3}$ 图象又有什么变化？当ω取任意正数呢？

取 $\omega =2$ 时，得到函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象。

进一步，在单位圆上，设以 $Q_1$ 为起点的动点，当 $\omega =1$ 时到达点P的时间为 $x_1\text{ s }$ 当 $\omega =2$ 时到达点P的时间为 $x_{2}s.$ 因为 $\omega =2$ 时动点的转速是 $\omega =1$ 时的2倍，所以 $x_2=$ $\frac{1}{2}{x}_1$ ．这样，设 $G(x,y)$ 是函数 $y=\sin (x+\frac{\pi }{6})$ 图象上的一点，那么 $K(\frac{1}{2}x,y)$ 就是函数 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 图象上的相应点，如图5.6-5所示．这说明，把 $y=\sin (x+\frac{\pi }{6})$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变)，就得到 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 的图象.$y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 的周期为π，是 $y=\sin (x+\frac{\pi }{6})$ 的周期的 $\frac{1}{2}$。

同理，当 $\omega =\frac{1}{2}$ 时，动点的转速是 $\omega =1$ 时的 $\frac{1}{2}$ ，以 $Q_1$ 为起点，到达点P的时间是 $\omega =1$ 时的2倍.这样，把 $y=\sin (x+\frac{\pi }{6})$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，就得到 $y=\sin (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{6})$ 的图象. $y=\sin (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{6})$ 的周期为4π，是 $y=\sin (x+\frac{\pi }{6})$ 的周期的2倍.

一般地，函数 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 的周期是 $\frac{2\pi }{\omega }$ ，把 $y=\sin (x+\phi )$ 图象上所有点的横坐标缩短(当 $\omega >1$ 时)或伸长(当 $0<\omega <1$ 时)到原来的 $\frac{1}{\omega }$ 倍(纵坐标不变)，就得到 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 的图象.

3.探索 $A\left(A>0\right)$ 对 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 图象的影响

下面通过数学实验探索A对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令 $\omega =2$， $\phi =\frac{\pi }{6}$ 当A=1时，如图5.6-6，可得 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 的图象.

图5.6-6

探究

改变A的取值，使A取2， $\frac{1}{2},3,\frac{1}{3}$ 等，你发现图象有什么变化？当A取任意正数呢？

当A＝2时，得到函数 $y=2\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 的图象.

进一步，设射线 $O_1{Q}_1$ 与以 $O_1$ 为圆心、2为半径的圆交于 $T_1$ ．如果单位圆上以 $Q_1$ 为起点的动点，以 $\omega =2$ 的转速经过xs到达圆周上点P，那么点P的纵坐标是 $\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 相应地，点 $T_1$ 在以 $O_1$ 为圆心、2为半径的圆上运动到点T，点T的纵坐标是 $2\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 这样，设 $K(x,y)$ 是函数 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 图象上的一点，那么点 $N(x,2y)$ 就是函数$y=2\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 图象上的相应点，如图5.6-6所示．这说明，把 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变)，就得到 $y=2\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 的图象.

同理，把 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ (横坐标不变)，就得到 $y=\frac{1}{2}\sin (2x+\frac{\pi }{6})$ 的图象.

一般地，函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象，可以看作是把$y=\sin (\omega x+\phi )$ 图象上所有点的纵坐标伸长（当 $A>1$ 时）或缩短（当 $0<A<1$ 时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．从而，函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的值域是 $[-A,A]$，最大值是A，最小值是 $-A$.

思考

你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到 $y=A\sin (\omega x+\phi )(A>0$ $\omega >0)$ 图象的过程与方法吗？

一般地，函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0)$ 的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数 $y=\sin x$ 的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移 $\mid \phi \mid$ 个单位长度，得到函数$y=\sin (x+\phi )$ 的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega }$ 倍(纵坐标不变)，得到函数 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象.

这一过程的步骤如下：