拓广探索

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18. 观察以下各等式：

$${\sin }^{2}30^{\circ }+{\cos }^{2}60^{\circ }+\sin 30^{\circ }\cos 60^{\circ }=\frac{3}{4},$$

$${\sin }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}50^{\circ }+\sin 20^{\circ }\cos 50^{\circ }=\frac{3}{4},$$

$${\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }+\sin 15^{\circ }\cos 45^{\circ }=\frac{3}{4}.$$

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

19. 你能利用所给图形，证明下列两个等式吗?

$$\frac{1}{2}(\sin \alpha +\sin \beta )=\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2};$$

$$\frac{1}{2}(\cos \alpha +\cos \beta )=\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}.$$

(第19题)

20. 设 $f(\alpha )={\sin }^x\alpha +{\cos }^x\alpha ,x\in \{n|n=2k,k\in {\mathbf{N}}_{+}\}$ 。利用三角变换，估计 $f(\alpha )$ 在 $x=2，4，6$ 时的取值情况，进而猜想 $x$ 取一般值时 $f(\alpha )$ 的取值范围。

5.6 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$

我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画。对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题。

5.6.1 匀速圆周运动的数学模型

问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图5.6-1）。明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图5.6-2）。

图5.6-1

图5.6-2

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动。你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？

因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律。

思考

与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过ts后，盛水筒M从点 $P_0$ 运动到点P。由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置 $P_0$ 以及所经过的时间t。

下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型。

如图5.6-3，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系。设 $t=0$ 时，盛水筒M位于点 $P_0$ ，以Ox为始边， $O{P}_0$ 为终边的角为 $\phi$ ，经过ts后运动到点 $P(x,y)$ 于是，以Ox 为始边， $OP$ 为终边的角为 $\omega t+\phi$ ，并且有

$$y=r\sin (\omega t+\phi ).\text{\hspace{1em}(①)}$$

所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是

$$H=r\sin (\omega t+\phi )+h.\text{\hspace{1em}(②)}$$

函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律。由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质。

图5.6-3

5.6.2 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象

上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ （其中 $A>0,\omega >0$ ）的函数。显然，这个函数由参数A，ω， $\phi$ 所确定。因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质。

思考

从解析式看，函数 $y=\sin x$ 就是函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 在 $A=1,\omega =1,\phi =0$ 时的特殊情形。

（1）能否借助我们熟悉的函数 $y=\sin x$ 的图象与性质研究参数A，ω， $\phi$ 对函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的影响？

（2）函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？

1. 探索 $\phi$ 对 $y=\sin (x+\phi )$ 图象的影响

为了更加直观地观察参数 $\phi$ 对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验。如图5.6-4，取 $A=1，\omega =1$ ，动点M在单位圆 $O_1$ 上以单位角速度按逆时针方向运动。如果动点M以 $Q_0$ 为起点（此时 $\phi =0$ ），经过xs后运动到点P，那么点P的纵坐标 $y$ 就等于 $\sin x$ 。以 $(x,y)$ 为坐标描点，可得正弦函数 $y=\sin x$ 的图象。

图5.6-4

探究

在单位圆上拖动起点 $Q_0$ ，使点 $Q_0$ 绕点 $O_1$ 旋转 $\frac{\pi }{6}$ 到 $Q_1$ ，你发现图象有什么变化？如果使点 $Q_0$ 绕点 $O_1$ 旋转 $-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},-\frac{\pi }{3}$ ，或者旋转一个任意角 $\phi$ 呢？

当起点位于 $Q_1$ 时， $\phi =\frac{\pi }{6}$ ，可得函数 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象。

进一步，在单位圆上，设两个动点分别以 $Q_0,Q_1$ 为起点同时开始运动。如果以 $Q_0$ 为起点的动点到达圆周上点P的时间为 $x\mathrm{s}$ ，那么以 $Q_1$ 为起点的动点相继到达点P的时间是 $\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\mathrm{s}$ 。这个规律反映在图象上就是：如果 $F(x,y)$ 是函数 $y=\sin x$ 图象上的一点，那么 $G\left(x-\frac{\pi }{6},y\right)$ 就是函数 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 图象上的点，如图5.6-4所示。这说明，把正弦曲线 $y=\sin x$ 上的所有点向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，就得到 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的图象。

分别说一说旋转 $-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},-\frac{\pi }{3}$ 时的情况。

一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为 $\phi$ 时，对应的函数是 $y=\sin (x+\phi )$ $(\phi \ne 0)$ ，把正弦曲线上的所有点向左（当 $\phi >0$ 时）或向右（当 $\phi <0$ 时）平移 $|\phi |$ 个单位长度，就得到函数 $y=\sin (x+\phi )$ 的图象。