练习

练习

1．求下列函数的周期，最大值和最小值：

(1) $y=5\cos x-12\sin x$； (2) $y=\cos x+2\sin x$。

2．要在半径为R 的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？

3．已知正n边形的边长为α，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R．求证 $R+r=\frac{a}{2\tan \frac{\pi }{2n}}$。

习题5.5

复习巩固

1.已知 $\sin \alpha =\frac{2}{3},\cos \beta =-\frac{3}{4},\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right),\beta \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$，求 $\cos (\alpha -\beta )$ 的值。

2.已知α，β都是锐角， $\cos \alpha =\frac{1}{7},\cos (\alpha +\beta )=-\frac{11}{14}$，求 $\cos \beta$ 的值。（提示： $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$）

3.已知 $\sin (30^{\circ }+\alpha )=\frac{3}{5},60^{\circ }<\alpha <150^{\circ }$，求 cos α的值。

4.在 $△ABC$ 中， $\cos A=\frac{12}{13},\cos B=\frac{3}{5}$，求 cos C 的值。

5.已知 $\tan (\alpha +\beta )=3,\tan (\alpha -\beta )=5$，求 tan 2α，tan 2β的值。

6. (1) $\sin 347^{\circ }\cos 148^{\circ }+\sin 77^{\circ }\cos 58^{\circ }$;

(2) $\sin 164^{\circ }\sin 224^{\circ }+\sin 254^{\circ }\sin 314^{\circ }$;

(3) $\sin (\alpha +\beta )\cos (\gamma -\beta )-\cos (\beta +\alpha )\sin (\beta -\gamma )$;

(4) $\sin (\alpha -\beta )\sin (\beta -\gamma )-\cos (\alpha -\beta )\cos (\gamma -\beta )$;

(5) $\frac{\tan \frac{5\pi }{4}+\tan \frac{5\pi }{12}}{1-\tan \frac{5\pi }{4}\tan \frac{5\pi }{12}}$;

(6) $\frac{\sin (\alpha +\beta )-2\sin \alpha \cos \beta }{2\sin \alpha \sin \beta +\cos (\alpha +\beta )}$。

7.已知 $\sin \alpha =0.80,\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，求 sin 2α，cos 2α 的值（精确到0.01）。

8.求证：(1) $(\sin 2\alpha -\cos 2\alpha {)}^2=1-\sin 4\alpha$; (2) $\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)+\tan \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=2\tan x$; (3) $\frac{1+\sin 2\phi }{\cos \phi +\sin \phi }=\cos \phi +\sin \phi$; (4) $\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }=\frac{2\tan \alpha }{(1-\tan \alpha )(1+\tan \alpha )}$; (5) $\frac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }={\tan }^2\theta$; (6) $\frac{1+\sin 2\theta -\cos 2\theta }{1+\sin 2\theta +\cos 2\theta }=\tan \theta$。

9.已知 $\sin (\alpha +\beta )=\frac{1}{2},\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$，求证： (1) $\sin \alpha \cos \beta =5\cos \alpha \sin \beta$; (2) $\tan \alpha =5\tan \beta$。

10.已知 $\frac{1-\tan \theta }{2+\tan \theta }=1$，求证 $\tan 2\theta =-4\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。

11．已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于 $\frac{3}{5}$，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切。

12.化简：(1) $3\sqrt{15}\sin x+3\sqrt{5}\cos x$; (2) $\frac{3}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$; (3) $\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}$; (4) $\frac{\sqrt{2}}{4}\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)+\frac{\sqrt{6}}{4}\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$。

综合运用

13. 在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程 $x^2+p(x+1)+1=0$ 的两个实根，求 $\angle C$。

14. 在 $△ABC$ 中， $B=\frac{\pi }{4}$ ，BC边上的高等于 $\frac{1}{3}BC$ ，则cos A=（ ）。 （A） $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ （B） $\frac{\sqrt{10}}{10}$ （C） $\frac{\sqrt{10}}{10}$ （D） $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

15. 求证：

(1) $3+\cos 4\alpha -4\cos 2\alpha =8{\sin }^4\alpha$；

$$(2)\frac{\tan \alpha \tan 2\alpha }{\tan 2\alpha -\tan \alpha }+\sqrt{3}({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )=2\sin \left(2\alpha -\frac{\pi }{3}\right).$$

16. 是否存在锐角α，β，使 $\alpha +2\beta =\frac{2\pi }{3}$， $\tan \frac{\alpha }{2}\tan \beta =2-\sqrt{3}$ 同时成立？若存在，求出α，β的度数；若不存在，请说明理由。

17. （1）求函数 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi }{3}+4x\right)+\sin \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的周期和单调递增区间；

（2）求函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x$ $(a^2+b^2\ne 0)$ 的最大值和最小值。