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你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从 $C_{(α \pm β)}, S_{(α \pm β)}$ 出发，推导出用任意角 $α, β$ 的正切表示 $tan (α + β), tan (α - β)$ 的公式吗？

通过推导，可以得到：

$tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β},$

$(T_{(α + β)})$

$tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} .$

$(T_{(α - β)})$

公式 $S_{(α + β)}, C_{(α + β)}, T_{(α + β)}$ 给出了任意角α， $β$ 的三角函数值与其和角 $α + β$ 的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.

类似地, $S_{(α - β)}, C_{(α - β)}, T_{(α - β)}$ 都叫做差角公式.

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和（差）角公式中，α， $β$ 都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式，你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？

例3已知 $sin α = - \frac{3}{5}$ ，α是第四象限角，求 $sin (\frac{π}{4} - α), cos (\frac{π}{4} + α), tan (α - \frac{π}{4})$ 的值.解：由 $sin α = - \frac{3}{5}$ ，α是第四象限角，得

$cos α = 1 - sin^{2} α = 1 - (- \frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5},$

所以

\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}. $于是有$ \begin{aligned} \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) &= \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha \ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{7\sqrt{2}}{10}, \end{aligned} \begin{aligned} \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) &= \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha \ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{7\sqrt{2}}{10}, \end{aligned} \begin{aligned} \tan \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) &= \frac{\tan \alpha - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi}{4}} \ &= \frac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha} \ &= \frac{-\frac{3}{4} - 1}{1 + \left( -\frac{3}{4} \right)} = -7. \end{aligned} $## 思考由以上解答可以看到，在本题条件下有 $\sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)$ 那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1) $\sin 72^{\circ} \cos 42^{\circ} - \cos 72^{\circ} \sin 42^{\circ}$; (2) $\cos 20^{\circ} \cos 70^{\circ} - \sin 20^{\circ} \sin 70^{\circ}$; (3) $\frac{1 + \tan 15^{\circ}}{1 - \tan 15^{\circ}}$. 分析：和、差角公式把 $\alpha \pm \beta$ 的三角函数式转化成了α， $\beta$ 的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简. 解：（1）由公式 $\mathrm{S}_{(\alpha-\beta)}$ ，得$ \begin{aligned} & \sin 72^{\circ} \cos 42^{\circ} - \cos 72^{\circ} \sin 42^{\circ} \ &= \sin(72^{\circ} - 42^{\circ}) \ &= \sin 30^{\circ} \ &= \frac{1}{2}. \end{aligned} $（2）由公式 $\mathrm{C}_{(\alpha+\beta)}$ ，得$ \begin{aligned} & \cos 20^{\circ} \cos 70^{\circ} - \sin 20^{\circ} \sin 70^{\circ} \ &= \cos(20^{\circ} + 70^{\circ}) \ &= \cos 90^{\circ} \ &= 0. \end{aligned} $（3）由公式 $\mathrm{T}_{(\alpha+\beta)}$ 及 $\tan 45^{\circ} = 1$ ，得$ \begin{aligned} \frac{1 + \tan 15^{\circ}}{1 - \tan 15^{\circ}} &= \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 15^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \tan 15^{\circ}} \ &= \tan(45^{\circ} + 15^{\circ}) \ &= \tan 60^{\circ} \ &= \sqrt{3}. \end{aligned} $## 练习 1．利用和（差）角公式，求下列各式的值： (1) $\sin 15^{\circ}$; (2) $\cos 75^{\circ}$; (3) $\sin 75^{\circ}$; (4) $\tan 15^{\circ}$. 2.（1）已知 $\cos \theta = -\frac{3}{5}, \theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，求 $\sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$ 的值； (2）已知 $\sin \theta = -\frac{12}{13}$ ，θ是第三象限角，求 $\cos \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right)$ 的值；（3）已知 $\tan \alpha = 3$ ，求 $\tan \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)$ 的值. 3．求下列各式的值： (1) $\sin 72^{\circ} \cos 18^{\circ} + \cos 72^{\circ} \sin 18^{\circ}$; (2) $\cos 72^{\circ} \cos 12^{\circ} + \sin 72^{\circ} \sin 12^{\circ}$; (3) $\frac{\tan 12^{\circ} + \tan 33^{\circ}}{1 - \tan 12^{\circ} \tan 33^{\circ}}$; (4) $\cos 74^{\circ} \sin 14^{\circ} - \sin 74^{\circ} \cos 14^{\circ}$; (5) $\sin 34^{\circ} \sin 26^{\circ} - \cos 34^{\circ} \cos 26^{\circ}$; (6) $\sin 20^{\circ} \cos 110^{\circ} + \cos 160^{\circ} \sin 70^{\circ}$. 4.化简： (1) $\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$; (2) $\sqrt{3} \sin x + \cos x$; (3) $\sqrt{2} (\sin x - \cos x)$; (4) $\sqrt{2} \cos x - \sqrt{6} \sin x$. 5.已知 $\sin(\alpha - \beta) \cos \alpha - \cos(\beta - \alpha) \sin \alpha = \frac{3}{5}$ ，β是第三象限角，求 $\sin \left(\beta + \frac{5\pi}{4}\right)$ 的值. ## 3．二倍角的正弦、余弦、正切公式以公式 $\mathrm{C}_{(\alpha-\beta)}$ 为基础，我们已经得到六个和（差）角公式，下面将以和（差）角公式为基础来推导倍角公式. ## 探究你能利用 $\operatorname{S}_{(\alpha\pm\beta)}, \operatorname{C}_{(\alpha\pm\beta)}, \operatorname{T}_{(\alpha\pm\beta)}$ 推导出 $\sin 2\alpha$，$\cos 2\alpha$，$\tan 2\alpha$ 的公式吗？通过推导，可以得到：$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha, \tag{ $S_{2 α}$ } \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha, \tag{ $C_{2 α}$ } \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}. \tag{ $T_{2 α}$ } $如果要求二倍角的余弦公式 $\left( \mathrm{C}_{2\alpha} \right)$ 中仅含α的正弦（余弦)，那么又可得到：$ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha, \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1. $$

以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.

这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去.

练习题

若 $tan α = 2$ ， $tan β = \frac{1}{3}$ ，且 $tan (α + β)$ 有意义，则 $tan (α + β)$ 的值是（）

7

\frac{7}{3}

\frac{5}{3}

- 7

若 $tan α = \frac{3}{4}$ ，则 $tan (α - \frac{π}{4})$ 的值是（）

\frac{1}{7}

- \frac{1}{7}

7

- 7

已知 $sin α = - \frac{5}{13}$ ，且 $α$ 是第四象限角，则 $tan α$ 等于（）

\frac{5}{12}

- \frac{5}{12}

\frac{12}{5}

- \frac{12}{5}

下列等式正确的是（多选）

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α

cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1

tan 2 α = \frac{2 t a n α}{1 + t a n ^{2} α}

对任意使等式两边都有意义的角 $α$ ，恒有 $sin (\frac{π}{4} - α) = cos (\frac{π}{4} + α)$ 。

$sin 7 2^{\circ} cos 4 2^{\circ} - cos 7 2^{\circ} sin 4 2^{\circ} = sin (7 2^{\circ} + 4 2^{\circ})$ 。

利用正切和角公式， $\tan(\alpha+\beta)=___$ 。

利用和角正切公式计算 $\frac{1 + t a n 1 5 ^{\circ}}{1 - t a n 1 5 ^{\circ}}$ 的值，并说明它对应哪个角的正切值。

已知 $sin α = - \frac{3}{5}$ ， $α$ 是第四象限角，求 $sin (\frac{π}{4} - α)$ 与 $tan (α - \frac{π}{4})$ 。

已知 $sin α = \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 是第二象限角，则 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值是（）。

- 7

7

\frac{1}{7}

- \frac{1}{7}

下列等式中，可以看作把两角和或差公式反向用于化简三角函数式的有（）。

sin 7 0^{\circ} cos 2 5^{\circ} - cos 7 0^{\circ} sin 2 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ}

cos 3 5^{\circ} cos 5 5^{\circ} - sin 3 5^{\circ} sin 5 5^{\circ} = cos 9 0^{\circ}

\frac{1 + t a n 1 5 ^{\circ}}{1 - t a n 1 5 ^{\circ}} = tan 6 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} + cos 3 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ}

cos (α - β) = cos α cos β - sin α sin β

对于使两边都有意义的任意角 $α$ ，恒等式 $sin (\frac{π}{4} - α) = cos (\frac{π}{4} + α)$ 成立。

因为 $tan 4 5^{\circ} = 1$ ，所以 $\frac{1 + t a n 1 5 ^{\circ}}{1 - t a n 1 5 ^{\circ}}$ 可由正切和角公式反向化为 ___，从而求得其值为 $3$ 。

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练习题

若 tanα=2，tanβ=31​，且 tan(α+β) 有意义，则 tan(α+β) 的值是（ ）

若 tanα=43​，则 tan(α−4π​) 的值是（ ）

已知 sinα=−135​，且 α 是第四象限角，则 tanα 等于（ ）

下列等式正确的是（多选）

对任意使等式两边都有意义的角 α，恒有 sin(4π​−α)=cos(4π​+α)。

sin72∘cos42∘−cos72∘sin42∘=sin(72∘+42∘)。

利用正切和角公式，\tan(\alpha+\beta)=___。

利用和角正切公式计算 1−tan15∘1+tan15∘​ 的值，并说明它对应哪个角的正切值。

已知 sinα=−53​，α 是第四象限角，求 sin(4π​−α) 与 tan(α−4π​)。

已知 sinα=54​，且 α 是第二象限角，则 tan(α+4π​) 的值是（ ）。

下列等式中，可以看作把两角和或差公式反向用于化简三角函数式的有（ ）。

对于使两边都有意义的任意角 α，恒等式 sin(4π​−α)=cos(4π​+α) 成立。

因为 tan45∘=1，所以 1−tan15∘1+tan15∘​ 可由正切和角公式反向化为 ___，从而求得其值为 3​。