正在学习

综合运用

10．求下列函数的值域： (1) $y = sin x, x \in [\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}]$ ； (2) $y = cos (x + \frac{π}{3}), x \in [0, \frac{π}{2}]$ ．

11．根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合： (1) $sin x ⩾ \frac{3}{2} (x \in R)$ ； (2) $2 + 2 cos x ⩾ 0 (x \in R)$ ．

12．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减的是（　）． (A) $y = ∣ sin x ∣$ (B) $y = cos x$ (C) $y = tan x$ (D) $y = c o s \frac{x}{2}$

13.若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合： (1) $1 + tan x ⩽ 0;$ (2) $tan x - 3 \geq 0.$

14．求函数 $y = - tan (2 x - \frac{3 π}{4})$ 的单调区间．

15.已知函数y=f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，若f(0.5)=1，求f(1)，f(3.5)的值．

16．已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{3}), x \in R$ （1）求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

拓广探索

17．在直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与 $⊙ O$ 的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并借助信息技术画出其图象．

18．已知函数 $y = f (x) (x \in R)$ 是周期函数，周期为2，其部分图象如图所示，（1）写出函数 $y = f (x)$ 的解析式；（2）画出函数 $y = f (x + 1)$ 的图象．

19．容易知道，正弦函数 $y = sin x$ 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．

(第18题)

5.5 三角恒等变换

前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和 (或差)的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角 $β$ ，那么任意角α与 $β$ 的和（或差）的三角函数与α， $β$ 的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题．

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角差的余弦公式

练习题

不等式 $sin x \geq \frac{3}{2}$ 在 $x \in R$ 上的解集是（）。

{x ∣ 2 k π + \frac{π}{3} \leq x \leq 2 k π + \frac{2 π}{3}, k \in Z}

{x ∣ 2 k π - \frac{π}{3} \leq x \leq 2 k π + \frac{π}{3}, k \in Z}

{x ∣ k π + \frac{π}{3} \leq x \leq k π + \frac{2 π}{3}, k \in Z}

{x ∣ 2 k π + \frac{2 π}{3} \leq x \leq 2 k π + \frac{4 π}{3}, k \in Z}

函数 $y = - tan (2 x - \frac{3 π}{4})$ 的单调递减区间是（）。

(- \frac{3 π}{8} + \frac{k π}{2}, \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}), k \in Z

(\frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{k π}{2}), k \in Z

(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π), k \in Z

(- \frac{3 π}{4} + k π, \frac{π}{4} + k π), k \in Z

函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期是（）。

\frac{π}{2}

π

2 π

4 π

下列说法正确的有（）。

y = ∣ sin x ∣

的最小正周期是

π

y = cos x

在区间

(\frac{π}{2}, π)

上单调递减

y = tan x

的最小正周期是

π

y = cos \frac{x}{2}

的最小正周期是

π

y = tan x

在每个区间

(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π)

上单调递增

关于三角恒等变换与两角和差公式的学习，下列说法正确的有（）。

A. 利用公式对三角函数式进行恒等变形，可以用于化简、求值或证明

B. 三角恒等变换就是利用公式对三角函数式进行的恒等变形

C. 诱导公式通常描述特殊角与任意角

α

的和或差的三角函数与

α

的三角函数之间的关系

D. 两角和与差公式研究的是任意角

α

与

β

的和或差的三角函数与

α, β

的三角函数之间的关系

E. 两角差的余弦公式只适用于锐角

α

和

β

若 $x$ 是斜三角形的一个内角，则不等式 $1 + tan x \leq 0$ 的解集为 $[\frac{3 π}{4}, π)$ 。

半径为 $2$ 、圆心在原点的圆上，角 $x$ 的终边与圆交于点 $B$ ，则点 $B$ 的纵坐标关于 $x$ 的函数解析式是 $y = 2 sin x$ 。

若 $y = f (x)$ 的周期为 $2$ ，则函数 $y = f (x + 1)$ 的图象可由 $y = f (x)$ 的图象向___平移 $1$ 个单位得到。

已知函数 $f (x)$ 定义在 $R$ 上，周期为 $2$ ，且是奇函数，若 $f (0.5) = 1$ ，求 $f (1)$ 与 $f (3.5)$ 。

求函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值。

已知正切函数 $y = tan x$ 在每个区间 $(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π)$ 上单调递增。函数 $y = - tan (2 x - \frac{3 π}{4})$ 的单调递减区间是（）

(\frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{k π}{2}), k \in Z

(- \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{k π}{2}), k \in Z

(\frac{π}{8} + k π, \frac{5 π}{8} + k π), k \in Z

(- \frac{5 π}{8} + \frac{k π}{2}, - \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}), k \in Z

结合正弦、余弦函数图象及其最大值、最小值，判断下列关于三角不等式解集的说法中正确的是（多选）。

sin x ⩾ \frac{3}{2}

的解集为

[\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{2 π}{3} + 2 k π], k \in Z

sin x ⩾ \frac{3}{2}

的解集为

[\frac{2 π}{3} + 2 k π, \frac{4 π}{3} + 2 k π], k \in Z

2 + 2 cos x ⩾ 0

等价于

cos x ⩾ - \frac{2}{2}

2 + 2 cos x ⩾ 0

的解集为

[\frac{3 π}{4} + 2 k π, \frac{5 π}{4} + 2 k π], k \in Z

2 + 2 cos x ⩾ 0

的解集可写为

[- \frac{3 π}{4} + 2 k π, \frac{3 π}{4} + 2 k π], k \in Z

已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为 $2$ 的奇函数，且 $f (0.5) = 1$ 。类比正切函数既有奇偶性又有周期性的用法，可得 $f (1)$ 与 $f (3.5)$ 分别为 ___。

为什么从诱导公式的学习可以自然过渡到研究“两角和与差的三角函数关系”？请结合单位圆可用于推导三角公式这一事实作答。

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5.5 三角恒等变换

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角差的余弦公式

练习题

不等式 sinx≥23​​ 在 x∈R 上的解集是（ ）。

函数 y=−tan(2x−43π​) 的单调递减区间是（ ）。

函数 f(x)=21​sin(2x−3π​) 的最小正周期是（ ）。

下列说法正确的有（ ）。

关于三角恒等变换与两角和差公式的学习，下列说法正确的有（ ）。

若 x 是斜三角形的一个内角，则不等式 1+tanx≤0 的解集为 [43π​,π)。

半径为 2、圆心在原点的圆上，角 x 的终边与圆交于点 B，则点 B 的纵坐标关于 x 的函数解析式是 y=2sinx。

若 y=f(x) 的周期为 2，则函数 y=f(x+1) 的图象可由 y=f(x) 的图象向___平移 1 个单位得到。

已知函数 f(x) 定义在 R 上，周期为 2，且是奇函数，若 f(0.5)=1，求 f(1) 与 f(3.5)。

求函数 f(x)=21​sin(2x−3π​) 在区间 [−4π​,4π​] 上的最大值和最小值。

已知正切函数 y=tanx 在每个区间 (−2π​+kπ,2π​+kπ) 上单调递增。函数 y=−tan(2x−43π​) 的单调递减区间是（ ）

结合正弦、余弦函数图象及其最大值、最小值，判断下列关于三角不等式解集的说法中正确的是（多选）。

已知 f(x) 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，且 f(0.5)=1。类比正切函数既有奇偶性又有周期性的用法，可得 f(1) 与 f(3.5) 分别为 ___。

为什么从诱导公式的学习可以自然过渡到研究“两角和与差的三角函数关系”？请结合单位圆可用于推导三角公式这一事实作答。

不等式 $sin x \geq \frac{3}{2}$ 在 $x \in R$ 上的解集是（）。

函数 $y = - tan (2 x - \frac{3 π}{4})$ 的单调递减区间是（）。

函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期是（）。

下列说法正确的有（）。

关于三角恒等变换与两角和差公式的学习，下列说法正确的有（）。

若 $x$ 是斜三角形的一个内角，则不等式 $1 + tan x \leq 0$ 的解集为 $[\frac{3 π}{4}, π)$ 。

半径为 $2$ 、圆心在原点的圆上，角 $x$ 的终边与圆交于点 $B$ ，则点 $B$ 的纵坐标关于 $x$ 的函数解析式是 $y = 2 sin x$ 。

若 $y = f (x)$ 的周期为 $2$ ，则函数 $y = f (x + 1)$ 的图象可由 $y = f (x)$ 的图象向___平移 $1$ 个单位得到。

已知函数 $f (x)$ 定义在 $R$ 上，周期为 $2$ ，且是奇函数，若 $f (0.5) = 1$ ，求 $f (1)$ 与 $f (3.5)$ 。

求函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值。

已知正切函数 $y = tan x$ 在每个区间 $(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π)$ 上单调递增。函数 $y = - tan (2 x - \frac{3 π}{4})$ 的单调递减区间是（）

已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为 $2$ 的奇函数，且 $f (0.5) = 1$ 。类比正切函数既有奇偶性又有周期性的用法，可得 $f (1)$ 与 $f (3.5)$ 分别为 ___。