探究

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你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？

根据正切函数是奇函数，只要画 $y=\tan x,x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 的图象关于原点的对称图形，就可得到 $y=\tan x,x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right]$ 的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数 $y=$ $\tan x,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数

$$y=\tan x,x\in \mathbf{R},x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$$

的图象，我们把它叫做正切曲线（tangent curve）（图5.4-11).

图5.4-11

从图5.4-11可以看出，正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$ 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.

3.单调性

观察正切曲线可知，正切函数在区间 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 上单调递增.

由正切函数的周期性可得，

正切函数在每一个区间 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)(k\in \mathbf{Z})$ 上都单调递增.

4.值域

当 $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 时，tanx在 $(-\infty ,+\infty )$ 内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.
因此，正切函数的值域是实数集R.

例6求函数 $y=\tan (\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3})$ 的定义域、周期及单调区间.

分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.

解：自变量x的取值应满足

$$\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z},$$

即

$$x\ne 2k+\frac{1}{3},k\in \mathbf{Z}.$$

所以，函数的定义域是 $\left\{x|x\ne 2k+\frac{1}{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$

设 $z=\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}$ ，又 $\tan (z+\pi )=\tan z$

所以

$$\tan \left[\right(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3})+\pi ]=\tan (\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}),$$

即

$$\tan \left[\frac{\pi }{2}\right(x+2)+\frac{\pi }{3}]=\tan (\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}).$$

因为 $\forall x\in \{x\mid x\ne 2k+\frac{1}{3}$ ，k∈Z}都有

$$\tan \left[\frac{\pi }{2}(x+2)+\frac{\pi }{3}\right]=\tan (\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}),$$

所以，函数的周期为2.

由 $-\frac{\pi }{2}+k\pi <\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$ 解得

$$-\frac{5}{3}+2k<x<\frac{1}{3}+2k,k\in \mathbf{Z}.$$

因此，函数的单调递增区间为 $\left(-\frac{5}{3}+2k,\frac{1}{3}+2k\right),k\in \mathbf{Z}.$

1．借助函数y=tanx 的图象解不等式 $\tan x⩾-1$ $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$

2．观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围： (1) $\tan x>0;$ (2) $\tan x=0;$ (3) $\tan x<0.$

3.求函数 $y=\tan 3x$ 的定义域.

4．求下列函数的周期： (1) $y=\tan 2x,x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$； (2) $y=5\tan \frac{x}{2},x\ne (2k+1)\pi (k\in \mathbf{Z})$．

5．不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小： (1) $\tan (-52^{\circ })$ 与 $\tan (-47^{\circ })$； (2) $\tan \frac{13\pi }{4}$ 与 $\tan \frac{17\pi }{5}$．

习题5.4

复习巩固

1．画出下列函数的简图： (1) $y=1-\sin x,x\in [0,2\pi ];$ (2) $y=3\cos x+1,x\in [0,2\pi ].$

2．求下列函数的周期： (1) $y=\sin \frac{2}{3}x,x\in \mathbf{R};$ (2) $y=\frac{1}{2}\cos 4x,x\in \mathbf{R}.$

3．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？ (1) $y=|\sin x|;$ (2) $y=1-\cos 2x;$ (3) $y=-3\sin 2x;$ (4) $y=1+2\tan x.$

4．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值： (1) $y=1-\frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{3}x,x\in \mathbf{R};$ (2) $y=3\sin (2x+\frac{\pi }{4}),x\in \mathbf{R};$ (3) $y=-\frac{3}{2}\cos (\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}),x\in \mathbf{R}$； (4) $y=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3}\right),x\in \mathbf{R}.$

5．利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1) $\sin 103^{\circ }15^{\prime }$ 与 $\sin 164^{\circ }30^{\prime }$； (2) $\cos (-\frac{3}{10}\pi )$ 与 $\cos (-\frac{4}{9}\pi )$； (3) $\sin 508^{\circ }$ 与 $\sin 144^{\circ }$； (4) $\cos (\frac{47}{10}\pi )$ 与 $\cos \left(\frac{44}{9}\pi \right)$．

6．求下列函数的单调区间： (1) $y=1+\sin x,x\in [0,2\pi ]$； (2) $y=-\cos x,x\in [0,2\pi ]$．

7.求函数 $y=-\tan (x+\frac{\pi }{6})+2$ 的定义域．

8.求函数 $y=\tan (2x-\frac{\pi }{3})$， $x\ne \frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$ 的周期．

9．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： (1) $\tan \left(-\frac{\pi }{5}\right)$ 与 $\tan (-\frac{3\pi }{7})$； (2) $\tan 1519^{\circ }$ 与 $\tan 1493^{\circ }$； (3) $\tan 6\frac{9}{11}\pi$ 与 $\tan (-5\frac{3}{11}\pi )$； (4) $\tan \frac{7\pi }{8}$ 与 $\tan \frac{\pi }{6}$．