练习

练习

1. 观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的 $x$ 所在的区间：(1) $\sin x\ge 0$；(2) $\sin x<0$；(3) $\cos x>0$；(4) $\cos x<0$。

2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值。(1) $y=2\sin x,x\in \mathbf{R}$；(2) $y=2-\cos \frac{x}{3},x\in \mathbf{R}$。

3. 下列关于函数 $y=4\sin x,x\in [0,2\pi ]$ 的单调性的叙述，正确的是（）。

(A) 在 $[0,\pi ]$ 上单调递增，在 $[\pi ,2\pi ]$ 上单调递减

(B) 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上单调递增，在 $[\frac{3\pi }{2},2\pi ]$ 上单调递减

(C) 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 及 $[\frac{3\pi }{2},2\pi ]$ 上单调递增，在 $[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$ 上单调递减

(D) 在 $[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$ 上单调递增，在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 及 $[\frac{3\pi }{2},2\pi ]$ 上单调递减

4. 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：

(1) $\cos \frac{2}{7}\pi$ 与 $\cos (-\frac{3\pi }{5})$；(2) $\sin 250^{\circ }$ 与 $\sin 260^{\circ }$。

5. 求函数 $y=3\sin (2x+\frac{\pi }{4}),x\in [0,\pi ]$ 的单调递减区间。

探究与发现

利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质

根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”。因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具。例如，借助单位圆的对称性可以方便地得到诱导公式。借助单位圆研究三角函数的性质体现了数形结合的思想方法，有利于从整体上把握三角函数。

如图1，在直角坐标系 $xOy$ 中，角 $x$ 的顶点与原点重合，始边与 $Ox$ 轴重合，终边与单位圆交于点 $P(\cos x,\sin x)$。容易发现，当角 $x$ 的终边绕原点从 $Ox$ 轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，点 $P$ 的横坐标按照

$$1\to 0\to -1\to 0\to 1\cdots$$

的规律连续地、周而复始地变化；同时，纵坐标按照

图1

$$0\to 1\to 0\to -1\to 0\cdots$$

的规律连续地、周而复始地变化。

由上述变化规律，可得余弦函数、正弦函数的各种性质（下述表格中的 $k\in \mathbf{Z}$）。

(1) 周期性

自变量每增加 $2\pi$（角 $x$ 的终边旋转一周），余弦函数值、正弦函数值重复出现，所以余弦函数、正弦函数的周期都是 $2\pi$。

(2) 奇偶性

角 $x$、角 $-x$ 与单位圆的交点 $P(\cos x,\sin x)$、$P^{\prime }(\cos (-x),\sin (-x))$ 关于 $Ox$ 轴对称，所以 $\cos (-x)=\cos x,\sin (-x)=-\sin x$，所以余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数。

(3) 单调性 余弦函数的单调性：

角$x$	$2k\pi \to 2k\pi +\frac{\pi }{2}$	$2k\pi +\frac{\pi }{2}\to 2k\pi +\pi$	$2k\pi +\pi \to 2k\pi +\frac{3\pi }{2}$	$2k\pi +\frac{3\pi }{2}\to 2k\pi +2\pi$
$P$点横坐标的变化	$1\to 0$	$0\to -1$	$-1\to 0$	$0\to 1$
$\cos x$ 的单调性	单调递减	单调递减	单调递增	单调递增

正弦函数的单调性：

角x	$2k\pi \to 2k\pi +\frac{\pi }{2}$	$2k\pi +\frac{\pi }{2}\to 2k\pi +\pi$	$2k\pi +\pi \to 2k\pi +\frac{3\pi }{2}$	$2k\pi +\frac{3\pi }{2}\to 2k\pi +2\pi$
P点纵坐标的变化	0→1	1→0	$0\to -1$	$-1\to 0$
sinx的单调性	单调递增	单调递减	单调递减	单调递增

（4）最大值、最小值

余弦函数的最大值、最小值：

角x	$\pi +2k\pi$	$2k\pi$
P 点的横坐标	-1	1
cos x	最小值	最大值

正弦函数的最大值、最小值：

角x	$-\frac{\pi }{2}+2k\pi$	$\frac{\pi }{2}+2k\pi$
P 点的纵坐标	-1	1
sin x	最小值	最大值

在后续的学习中我们还可以看到，借助单位圆的性质（主要是对称性)，不仅可以得到三角函数的各种性质，而且可以推导各种三角公式.

5.4.3正切函数的性质与图象

思考

（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？

（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？

有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象.

1.周期性

由诱导公式

$$\tan (x+\pi )=\tan x,x\in \mathbf{R},x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$$

可知，正切函数是周期函数，周期是π.

2.奇偶性

由诱导公式

$\tan (-x)=-\tan x,x\in \mathbf{R}$ ，且 $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$

可知，正切函数是奇函数.

思考

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？

可以先考察函数 $y=\tan x,x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.

探究

如何画出函数 $y=\tan x,x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 的图象？

如图5.4-9，设 $x\in [0,\frac{\pi }{2})$ ，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点$B(x_0,y_0)$ ．过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A（1，0）作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则

$$\tan x=\frac{y_0}{x_0}=\frac{MB}{OM}=\frac{AT}{OA}=AT.$$

由此可见，当 $x\in [0,\frac{\pi }{2})$ 时，线段$AT$ 的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段 $AT$ 画出函数 $y=\tan x,x\in$ $[0,\frac{\pi }{2})$ 的图象，如图5.4-10所示.

观察图5.4-10可知，当 $x\in [0,\frac{\pi }{2})$ 时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于 $\frac{\pi }{2}$ 时，AT的长度

图5.4-9

图5.4-10

趋向于无穷大．相应地，函数 $y=\tan x,x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线 $x=\frac{\pi }{2}$