3.单调性

3.单调性

根据正弦函数的周期性，我们可以先在它的一个周期的区间（如 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right])$ 上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.

根据三角函数的周期性，只要把握了它一个周期内的规律，就把握了整个三角函数的规律.

观察图5.4-8，可以看到：

当 $x$ 由 $-\frac{\pi }{2}$ 增大到 $\frac{\pi }{2}$ 时，曲线逐渐上升， $\sin x$ 的值由-1增大到1；当 $x$ 由 $\frac{\pi }{2}$ 增大到 $\frac{3\pi }{2}$ 时，曲线逐渐下降， $\sin x$ 的值由1减小到-1.

$\sin x$ 的值的变化情况如表5.4-2所示：

图5.4-8
表5.4-2

x	$-\frac{\pi }{2}$	$\nearrow$	0	$\nearrow$	$\frac{\pi }{2}$	$\nearrow$	$\pi$	$\nearrow$	$\frac{3\pi }{2}$
$\sin x$	-1	$\nearrow$	0	$\nearrow$	1	$\searrow$	0	$\searrow$	-1

这就是说，

正弦函数 $y=\sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right]$ 上单调递减.由正弦函数的周期性可得，

正弦函数在每一个闭区间 $[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ](k\in \mathbf{Z})$ 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 $[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ](k\in \mathbf{Z})$ 上都单调递减，其值从1减小到-1.

类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如 $[-\pi ,\pi ]$ ）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表5.4-3：

表5.4-3

x	$-\pi$	$\nearrow$	$-\frac{\pi }{2}$	$\nearrow$	0	$\nearrow$	$\frac{\pi }{2}$	$\searrow$	$\pi$
$\cos x$

由此可得,

函数 $y=\cos x,x\in [-\pi ,\pi ]$ 在区间 上单调递增，其值从-1增大到1;在区间 上单调递减，其值从1减小到-1.

由余弦函数的周期性可得，

余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.

4.最大值与最小值

从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，

正弦函数当且仅当 $x=$ 时取得最大值1，当且仅当 $x=$ 时取得最小值-1;

余弦函数当且仅当 $x=$ 时取得最大值1，当且仅当 $x=$ 时取得最小值-1.

例 3下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量 $x$ 的集合，并求出最大值、最小值.

(1) $y=\cos x+1,x\in \mathbf{R};$

(2) $y=-3\sin 2x,x\in \mathbf{R}.$

解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.

（1）使函数 $y=\cos x+1,x\in \mathbf{R}$ 取得最大值的 $x$ 的集合，就是使函数 $y=\cos x,x\in \mathbf{R}$ 取得最大值的 $x$ 的集合

$$\left\{x\mid x=2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\};$$

使函数 $y=\cos x+1,x\in \mathbf{R}$ 取得最小值的 $x$ 的集合，就是使函数 $y=\cos x,x\in \mathbf{R}$ 取得最小值的 $x$ 的集合

$$\{x\mid x=(2k+1)\pi ,k\in \mathbf{Z}\}.$$

函数 $y=\cos x+1,x\in \mathbf{R}$ 的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.

(2）令 $z=2x$ ，使函数 $y=-3\sin z,z\in \mathbf{R}$ 取得最大值的 $z$ 的集合，就是使 $y=\sin z,z\in \mathbf{R}$ 取得最小值的 $z$ 的集合

$$\{z\mid z=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}.$$

由 $2x=z=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$，得 $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$。所以，使函数 $y=-3\sin 2x,x\in \mathbf{R}$ 取得最大值的 $x$ 的集合是

$$\{x\mid x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}.$$

同理，使函数 $y=-3\sin 2x,x\in \mathbf{R}$ 取得最小值的 $x$ 的集合是

$$\{x\mid x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}.$$

函数 $y=-3\sin 2x,x\in \mathbf{R}$ 的最大值是3，最小值是 $-3$。

例4 不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1) $\sin (-\frac{\pi }{18})$ 与 $\sin (-\frac{\pi }{10})$ (2) $\cos (-\frac{23\pi }{5})$ 与 $\cos (-\frac{17\pi }{4})$

分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小。

解：(1) 因为

$$-\frac{\pi }{2}<-\frac{\pi }{10}<-\frac{\pi }{18}<0,$$

正弦函数 $y=\sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},0\right]$ 上单调递增，所以

$$\sin (-\frac{\pi }{18})>\sin (-\frac{\pi }{10}).$$

(2) $\cos (-\frac{23\pi }{5})=\cos \frac{23\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{5},$

$$\cos (-\frac{17\pi }{4})=\cos \frac{17\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}.$$

因为 $0<\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{5}<\pi$，且函数 $y=\cos x$ 在区间 $[0,\pi ]$ 上单调递减，所以

$$\cos \frac{\pi }{4}>\cos \frac{3\pi }{5},$$

即

$$\cos (-\frac{17\pi }{4})>\cos (-\frac{23\pi }{5}).$$

你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试。

例5 求函数 $y=\sin (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3}),x\in [-2\pi ,2\pi ]$ 的单调递增区间。

分析：令 $z=\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3},x\in [-2\pi ,2\pi ]$，当自变量 $x$ 的值增大时，$z$ 的值也随之增大，因此若函数 $y=\sin z$ 在某个区间上单调递增，则函数 $y=\sin (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3})$ 在相应的区间上也一定单调递增。

解：令 $z=\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3},x\in [-2\pi ,2\pi ]$，则 $z\in [-\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}]$。

因为 $y=\sin z,z\in [-\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}]$ 的单调递增区间是 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，且由

$$-\frac{\pi }{2}⩽\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3}⩽\frac{\pi }{2},$$

得 $-\frac{5\pi }{3}⩽x⩽\frac{\pi }{3}$。

所以，函数 $y=\sin (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3}),x\in [-2\pi ,2\pi ]$ 的单调递增区间是 $[-\frac{5\pi }{3},\frac{\pi }{3}]$。

思考

你能求出函数 $y=\sin (-\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3}),x\in [-2\pi ,2\pi ]$ 的单调递增区间吗？