1. 周期性

1. 周期性

观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 $2\pi$ 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式 $\sin (x+2k\pi )=\sin x(k\in \mathbf{Z})$ 中得到反映，即自变量 $x$ 的值增加 $2\pi$ 整数倍时所对应的函数值，与 $x$ 所对应的函数值相等。数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。

一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在一个非零常数 $T$，使得对每一个 $x\in D$ 都有 $x+T\in D$，且 $$f(x+T)=f(x),$$ 那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数（periodic function）。非零常数 $T$ 叫做这个函数的周期（period）。周期函数的周期不止一个。例如，$2\pi ,4\pi ,6\pi ,\dots$ 以及 $-2\pi ,-4\pi ,-6\pi ,\dots$ 都是正弦函数的周期。事实上，$\forall k\in \mathbf{Z}$ 且 $k\ne 0$，常数 $2k\pi$ 都是它的周期。

如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 $f(x)$ 的最小正周期。

根据上述定义，我们有：

正弦函数是周期函数，$2k\pi (k\in \mathbf{Z}$ 且 $k\ne 0)$ 都是它的周期，最小正周期是 $2\pi$。

类似地，余弦函数也是周期函数，$2k\pi (k\in \mathbf{Z}$ 且 $k\ne 0)$ 都是它的周期，最小正周期是 $2\pi$。①

例2 求下列函数的周期：

(1) $y=3\sin x,x\in \mathbf{R}$；

(2) $y=\cos 2x,x\in \mathbf{R}$；

(3) $y=2\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}\right),x\in \mathbf{R}$。

分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式 $f(x+T)=f(x)$ 而求出相应的周期。

对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 $\cos 2(x+T)=\cos 2x,x\in \mathbf{R}$；

对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 $\sin \left[\frac{1}{2}(x+T)-\frac{\pi }{6}\right]=\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}\right),x\in \mathbf{R}$。

解：(1) $\forall x\in \mathbf{R}$，有 $$3\sin (x+2\pi )=3\sin x.$$ 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 $2\pi$。

(2) 令 $z=2x$，由 $x\in \mathbf{R}$ 得 $z\in \mathbf{R}$，且 $y=\cos z$ 的周期为 $2\pi$，即 $$\cos (z+2\pi )=\cos z,$$ 于是 $$\cos (2x+2\pi )=\cos 2x,$$ 所以 $$\cos 2(x+\pi )=\cos 2x,x\in \mathbf{R}.$$ 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 $\pi$。

(3) 令 $z=\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}$，由 $x\in \mathbf{R}$ 得 $z\in \mathbf{R}$，且 $y=2\sin z$ 的周期为 $2\pi$，即 $$2\sin (z+2\pi )=2\sin z,$$ 于是 $$2\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}+2\pi \right)=2\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}\right),$$ 所以 $$2\sin \left[\frac{1}{2}(x+4\pi )-\frac{\pi }{6}\right]=2\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{6}\right).$$ 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 $4\pi$。

思考

回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

2. 奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点 $O$ 对称，余弦曲线关于 $y$ 轴对称。这个事实，也可由诱导公式 $$\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x$$ 得到。所以

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

思考

知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

①证明从略。同学们可以从函数图象上观察出这一结论。今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期。

练习

1.等式 $\sin (\frac{\pi }{6}+\frac{2}{3}\pi )=\sin \frac{\pi }{6}$ 是否成立？如果这个等式成立，能否说 $\frac{2}{3}\pi$ 是正弦函数 $y=\sin x,x\in \mathbf{R}$ 的一个周期？为什么？

2．求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验：(1) $y=\sin \frac{3}{4}x,x\in \mathbf{R};$ (2） $y=\cos 4x,x\in \mathbf{R};$ (3) $y=\frac{1}{2}\cos (2x-\frac{\pi }{3}),x\in \mathbf{R};$ (4) $y=\sin (\frac{1}{3}x+\frac{\pi }{4}),x\in \mathbf{R}.$

3．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？(1) $y=2\sin x;$ (2) $y=1-\cos x;$ (3) $y=x+\sin x;$ (4) $y=-\sin x\cos x.$

4.设函数 $f(x)(x\in \mathbf{R})$ 是以2为最小正周期的周期函数，且当 $x\in \left[0,2\right]$ 时， $f(x)=(x-1{)}^2$ .求$f(3),f\left(\frac{7}{2}\right)$ 的值.

探究与发现

函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 及函数 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的周期

从前面的例子中可以看出，函数

$$y=A\sin (\omega x+\phi ),x\in \mathbf{R}$$

及函数

$$y=A\cos (\omega x+\phi ),x\in \mathbf{R}$$

（其中 $A,\omega ,\phi$ 为常数，且 $A\ne 0,\omega >0)$ 的周期仅与自变量的系数有关．那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？

事实上，令 $z=\omega x+\phi$ ，那么由 $x\in \mathbf{R}$ 得 $z\in \mathbf{R}$ ，且函数 $y=A\sin z,z\in \mathbf{R}$ 及函数 $y=A\cos z,z\in \mathbf{R}$ 的周期都是 $2\pi .$

因为

$$z+2\pi =(\omega x+\phi )+2\pi =\omega (x+\frac{2\pi }{\omega })+\phi ,$$

所以，对于任意 $x$ ，当自变量 $x$ 增加 $\frac{2\pi }{\omega }$ 时，函数值就重复出现；并且当增加量小于 $\frac{2\pi }{\omega }$ 时，函数值不会总重复出现．即

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

是使等式

$$A\sin [\omega (x+T)+\phi ]=A\sin (\omega x+\phi ),$$

$$A\cos [\omega (x+T)+\phi ]=A\cos (\omega x+\phi )$$

成立的最小正数．从而，函数

$$y=A\sin (\omega x+\phi ),x\in \mathbf{R}$$

及函数

$$y=A\cos (\omega x+\phi ),x\in \mathbf{R}$$

的周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }.$

根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.

想一想：上述求函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ ， $x\in \mathbf{R}$ 及函数 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ ， $x\in \mathbf{R}$ 周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？即命题“如果函数 $y=f(x)$ 的周期是 $T$ ，那么函数 $y=f(\omega x)(\omega >0)$ 的周期是 $\frac{T}{\omega }$ ”是否成立？