正在学习

?思考

根据函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象，你能想象函数 $y = sin x, x \in R$ 的图象吗？

由诱导公式一可知，函数 $y = sin x, x \in [2 k π, 2 (k + 1) π], k \in Z$ 且 $k \neq = 0$ 的图象与 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象形状完全一致．因此将函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数 $y = sin x, x \in R$ 的图象（图5.4-4).

正弦函数的图象叫做正弦曲线（sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.

图5.4-4

?思考

在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

观察图5.4-3，在函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象上，以下五个点：

$(0, 0), (\frac{π}{2}, 1), (π, 0), (\frac{3 π}{2}, - 1), (2 π, 0)$

在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的.

由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.

?思考

你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

对于函数 $y = cos x$ ，由诱导公式 $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ 得，

$y = cos x = sin (x + \frac{π}{2}), x \in R .$

而函数 $y = sin (x + \frac{π}{2}), x \in R$ 的图象可以通过正弦函数你能说明理由吗？

$y = sin x, x \in R$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度而得到。所以，将正弦函数的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4-5所示。

图5.4-5

余弦函数 $y = cos x, x \in R$ 的图象叫做余弦曲线（cosine curve）。它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线。

探究

类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间 $[- π, π]$ 上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4-1，然后画出 $y = cos x, x \in [- π, π]$ 的简图。

表5.4-1

x
cos x

例1 画出下列函数的简图：

(1) $y = 1 + sin x, x \in [0, 2 π]$ ； (2) $y = - cos x, x \in [0, 2 π]$ 。

解：(1) 按五个关键点列表：

x	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
sin x	0	1	0	-1	0
1+sin x	1	2	1	0	1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6）：

图5.4-6

(2) 按五个关键点列表：

x	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
cos x	1	0	-1	0	1
-cos x	-1	0	1	0	-1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7）：

图5.4-7

思考

你能利用函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象，通过图象变换得到 $y = 1 + sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象吗？同样地，利用函数 $y = cos x, x \in [0, 2 π]$ 的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数 $y = - cos x, x \in [0, 2 π]$ 的图象？

练习

在同一直角坐标系中，画出函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π],$ $y = cos x, x \in [- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 的图象。通过观察两条曲线，说出它们的异同。
用五点法分别画下列函数在 $[- π, π]$ 上的图象：(1) $y = - sin x$ ；(2) $y = 2 - cos x$ 。
想一想函数 $y = ∣ sin x ∣$ 与 $y = sin x$ 的图象及其关系，并借助信息技术画出函数的图象进行检验。
(多项选择题)函数 $y = 1 + cos x, x \in (\frac{π}{3}, 2 π)$ 的图象与直线 $y = t$ ( $t$ 为常数)的交点可能有（）。 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 (E) 4个

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

探究

类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等。另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的。

练习题

要由函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象得到 $y = sin x, x \in R$ 的图象，正确的方法是（）。

A. 将

[0, 2 π]

上的图象不断向左、向右平移，每次平移

2 π

个单位长度

B. 将

[0, 2 π]

上的图象不断向上、向下平移，每次平移

2 π

个单位长度

C. 将

[0, 2 π]

上的图象关于

x

轴对称后再平移

D. 将

[0, 2 π]

上的图象关于

y

轴对称后再平移

函数 $y = sin x$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上用五点法作图时，五个关键点依次是（）。

(0, 0)

，

(\frac{π}{2}, 1)

，

(π, 0)

，

(\frac{3 π}{2}, - 1)

，

(2 π, 0)

(0, 1)

，

(\frac{π}{2}, 0)

，

(π, - 1)

，

(\frac{3 π}{2}, 0)

，

(2 π, 1)

(0, 0)

，

(\frac{π}{2}, - 1)

，

(π, 0)

，

(\frac{3 π}{2}, 1)

，

(2 π, 0)

(0, - 1)

，

(\frac{π}{2}, 0)

，

(π, 1)

，

(\frac{3 π}{2}, 0)

，

(2 π, - 1)

由 $y = sin x$ 的图象得到 $y = cos x$ 的图象，应进行的变换是（）。

A. 向右平移

\frac{π}{2}

个单位长度

B. 向左平移

\frac{π}{2}

个单位长度

C. 向上平移

\frac{π}{2}

个单位长度

D. 关于

x

轴对称

下列关于正弦曲线与余弦曲线的说法正确的有（）。

A. 正弦函数

y = sin x

的图象叫做正弦曲线

B. 余弦函数

y = cos x

的图象叫做余弦曲线

C. 正弦曲线和余弦曲线都是连续光滑的波浪形曲线

D. 余弦曲线与正弦曲线形状相同

E. 余弦曲线不能由正弦曲线通过平移得到

用五点法在 $[0, 2 π]$ 上画函数 $y = 1 + sin x$ 和 $y = - cos x$ 的简图时，下列取值正确的有（）。

A. 对

y = 1 + sin x

，当

x = 0

时，

y = 1

B. 对

y = 1 + sin x

，当

x = \frac{π}{2}

时，

y = 2

C. 对

y = - cos x

，当

x = π

时，

y = 1

D. 对

y = - cos x

，当

x = 2 π

时，

y = - 1

E. 对

y = 1 + sin x

，当

x = \frac{3 π}{2}

时，

y = 2

判断正误：用五点法画 $y = sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的简图时，只需描出五个关键点并用光滑曲线连接，就可以在精确度要求不高时得到函数简图。

判断正误：因为 $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ ，所以 $y = cos x$ 的图象可由 $y = sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到。

判断正误：研究正弦函数、余弦函数的性质时，通常会研究单调性、奇偶性、最大值和最小值等；此外，三角函数还具有刻画周而复始现象的重要性质。

函数 $y = cos x$ 可写成 $y = sin (x +___)$ ，因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移该长度得到。

用五点法画 $y = - cos x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的简图时，五个关键点的函数值依次为 $- 1, 0, 1, 0,___$ 。

简要说明为什么只要知道 $y = sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的图象，就可以得到 $y = sin x$ 在 $R$ 上的图象。

怎样用五点法画函数 $y = 1 + sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的简图？请写出五个关键点。

结合公式 $sin (\frac{π}{2} + α) = cos α$ ，说明正弦函数与余弦函数图象之间的关系。

关于后续研究正弦函数、余弦函数性质的内容，下列说法最恰当的是（）。

A. 只需研究它们的图象是否经过原点

B. 只需研究它们是否为一次函数

C. 应研究单调性、奇偶性、最大值、最小值等，并关注刻画周期现象的性质

D. 应只研究

x \in [0, π]

时的函数值

已知诱导公式 $sin (\frac{π}{2} + α) = cos α$ 。要由函数 $y = sin x$ 的图象得到函数 $y = cos x$ 的图象，应怎样变换？

A. 将

y = sin x

的图象向左平移

\frac{π}{2}

个单位长度

B. 将

y = sin x

的图象向右平移

\frac{π}{2}

个单位长度

C. 将

y = sin x

的图象向上平移

\frac{π}{2}

个单位长度

D. 将

y = sin x

的图象关于

x

轴对称

关于用“五点法”和周期重复性画三角函数简图，下列说法正确的是哪些？

A. 函数

y = sin x

在

[0, 2 π]

上的五个关键点包括

(\frac{π}{2}, 1)

和

(\frac{3 π}{2}, - 1)

B. 因为

sin (x \pm 2 π) = sin x

，所以

y = sin x

在相邻长度为

2 π

的区间上的图象形状重复

C. 函数

y = cos x

的图象可由

y = sin x

的图象向左平移

\frac{π}{2}

个单位长度得到

D. 用五点法画

y = 1 + sin x

时，只需把

y = sin x

五个关键点的纵坐标都加

1

E. 函数

y = sin x

在

[0, 2 π]

上的五个关键点的纵坐标依次为

1, 0, - 1, 0, 1

判断正误：由于 $sin (x + 2 π) = sin x$ ，所以只要画出 $y = sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的图象，再每次向左、向右平移 $2 π$ 个单位长度，就可以得到 $y = sin x$ 在 $R$ 上的图象。

由公式 $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ 可知，余弦曲线与正弦曲线形状相同，且可由正弦曲线向左平移 ___ 个单位长度得到。

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练习

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

探究

练习题

要由函数 y=sinx, x∈[0,2π] 的图象得到 y=sinx, x∈R 的图象，正确的方法是（ ）。

函数 y=sinx 在区间 [0,2π] 上用五点法作图时，五个关键点依次是（ ）。

由 y=sinx 的图象得到 y=cosx 的图象，应进行的变换是（ ）。

下列关于正弦曲线与余弦曲线的说法正确的有（ ）。

用五点法在 [0,2π] 上画函数 y=1+sinx 和 y=−cosx 的简图时，下列取值正确的有（ ）。

判断正误：用五点法画 y=sinx 在 [0,2π] 上的简图时，只需描出五个关键点并用光滑曲线连接，就可以在精确度要求不高时得到函数简图。

判断正误：因为 cosx=sin(x+2π​)，所以 y=cosx 的图象可由 y=sinx 的图象向右平移 2π​ 个单位长度得到。

判断正误：研究正弦函数、余弦函数的性质时，通常会研究单调性、奇偶性、最大值和最小值等；此外，三角函数还具有刻画周而复始现象的重要性质。

函数 y=cosx 可写成 y=sin(x+___)，因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移该长度得到。

用五点法画 y=−cosx 在 [0,2π] 上的简图时，五个关键点的函数值依次为 −1,0,1,0,___。

简要说明为什么只要知道 y=sinx 在 [0,2π] 上的图象，就可以得到 y=sinx 在 R 上的图象。

怎样用五点法画函数 y=1+sinx 在 [0,2π] 上的简图？请写出五个关键点。

结合公式 sin(2π​+α)=cosα，说明正弦函数与余弦函数图象之间的关系。

关于后续研究正弦函数、余弦函数性质的内容，下列说法最恰当的是（ ）。

已知诱导公式 sin(2π​+α)=cosα。要由函数 y=sinx 的图象得到函数 y=cosx 的图象，应怎样变换？

关于用“五点法”和周期重复性画三角函数简图，下列说法正确的是哪些？

判断正误：由于 sin(x+2π)=sinx，所以只要画出 y=sinx 在 [0,2π] 上的图象，再每次向左、向右平移 2π 个单位长度，就可以得到 y=sinx 在 R 上的图象。

由公式 cosx=sin(x+2π​) 可知，余弦曲线与正弦曲线形状相同，且可由正弦曲线向左平移 ___ 个单位长度得到。

要由函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象得到 $y = sin x, x \in R$ 的图象，正确的方法是（）。

函数 $y = sin x$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上用五点法作图时，五个关键点依次是（）。

由 $y = sin x$ 的图象得到 $y = cos x$ 的图象，应进行的变换是（）。

下列关于正弦曲线与余弦曲线的说法正确的有（）。

用五点法在 $[0, 2 π]$ 上画函数 $y = 1 + sin x$ 和 $y = - cos x$ 的简图时，下列取值正确的有（）。

判断正误：用五点法画 $y = sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的简图时，只需描出五个关键点并用光滑曲线连接，就可以在精确度要求不高时得到函数简图。

判断正误：因为 $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ ，所以 $y = cos x$ 的图象可由 $y = sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到。

函数 $y = cos x$ 可写成 $y = sin (x +___)$ ，因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移该长度得到。

用五点法画 $y = - cos x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的简图时，五个关键点的函数值依次为 $- 1, 0, 1, 0,___$ 。

简要说明为什么只要知道 $y = sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的图象，就可以得到 $y = sin x$ 在 $R$ 上的图象。

怎样用五点法画函数 $y = 1 + sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的简图？请写出五个关键点。

结合公式 $sin (\frac{π}{2} + α) = cos α$ ，说明正弦函数与余弦函数图象之间的关系。

关于后续研究正弦函数、余弦函数性质的内容，下列说法最恰当的是（）。

已知诱导公式 $sin (\frac{π}{2} + α) = cos α$ 。要由函数 $y = sin x$ 的图象得到函数 $y = cos x$ 的图象，应怎样变换？

判断正误：由于 $sin (x + 2 π) = sin x$ ，所以只要画出 $y = sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的图象，再每次向左、向右平移 $2 π$ 个单位长度，就可以得到 $y = sin x$ 在 $R$ 上的图象。

由公式 $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ 可知，余弦曲线与正弦曲线形状相同，且可由正弦曲线向左平移 ___ 个单位长度得到。