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1．用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第(2)(3)(4)(5)题精确到0.000 1）：(1) $cos (- \frac{17 π}{4})$ ； (2) $sin (- 157 4^{\circ})$ ； (3） $sin (- 216 0^{\circ} 5 2^{'})$ ；（4） $cos (- 175 1^{\circ} 3 6^{'})$ ； (5） $cos 161 5^{\circ} 8^{'};$ (6) $sin (- \frac{26}{3} π)$

2.求证： (1) $sin (36 0^{\circ} - α) = - sin α;$ (2） $cos (36 0^{\circ} - α) = cos α;$ (3) $tan (36 0^{\circ} - α) = - tan α .$

3．化简： (1) $1 + sin (α - 2 π) sin (π + α) - 2 cos^{2} (- α);$ (2) $sin (- 107 1^{\circ}) sin 9 9^{\circ} + sin (- 17 1^{\circ}) sin (- 26 1^{\circ}) .$

4．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，分别求角 $π + α, - α, \frac{π}{2} + α$ 的正弦、余弦函数值.

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5.已知 $sin (\frac{7 π}{2} + α) = \frac{3}{5}$ ，那么 $cos α =$ （）.（A) $- \frac{4}{5}$ (B) $- \frac{3}{5}$ （C） $\frac{3}{5}$ (D) $\frac{4}{5}$

6.已知 $sin (π + α) = - \frac{1}{2}$ ，计算：(1) $sin (5 π - α)$ ；(2) $sin (\frac{π}{2} + α)$ ；(3） $cos (α - \frac{3 π}{2})$ ； (4） $tan (\frac{π}{2} - α)$

7．在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.(1) $cos (A + B) = cos C$ ；(2） $sin (A + B) = sin C;$ (3) $sin \frac{A + B}{2} = sin \frac{C}{2}$ ；(4) $cos \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2} .$

8.已知 $sin (\frac{π}{3} - x) = \frac{1}{3}$ ，且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，求 $sin (\frac{π}{6} + x)$ 和 $cos (\frac{2 π}{3} + x)$ 的值.

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9．化简下列各式，其中 $n \in Z$ ：(1) $sin (\frac{nπ}{2} + α)$ ；(2） $cos (\frac{nπ}{2} - α)$

10．借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系？由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？

5.4 三角函数的图象与性质

前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论.

我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式

$sin (x \pm 2 π) = sin x, cos (x \pm 2 π) = cos x$

来表示．这说明，自变量每增加（减少）2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现．利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

下面先研究函数 $y = sin x, x \in R$ 的图象，从画函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象开始.

?思考

在[0， $2 π]$ 上任取一个值 $x_{0}$ ，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 $sin x_{0}$ 并画出点 $T (x_{0}, sin x_{0})?$

如图5.4-1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆， $⊙ O$ 与x轴正半轴的交点为A(1，0)．在单位圆上，将点A绕着点O旋转 $x_{0}$ 弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标 $y_{0} = sin x_{0}$ ．由此，以 $x_{0}$ 为横坐标， $y_{0}$ 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 $T (x_{0}, sin x_{0})$

图5.4-1

若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使 $x_{0}$ 的值分别为0, $\frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \dots, 2 π$ ，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点 $T (x_{0}, sin x_{0})$ 的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4-2).

图5.4-2

事实上，利用信息技术，可使 $x_{0}$ 在区间[0，2π]上取到足够多的值而画出足够多的点 $T (x_{0}, sin x_{0})$ ，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 $y = sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象（图5.4-3).

图5.4-3

练习题

在描绘函数 $y = sin x$ 的图象时，点 $T (- \frac{17 π}{4}, sin (- \frac{17 π}{4}))$ 的纵坐标应为多少？

\frac{2}{2}

- \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

用单位圆等分描点法画 $y = sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的图象时，下列哪些点一定在该图象上？

(\frac{π}{6}, \frac{1}{2})

(\frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})

(\frac{7 π}{6}, \frac{1}{2})

(\frac{11 π}{6}, - \frac{1}{2})

(\frac{3 π}{2}, 1)

对任意角 $α$ ，在 $y = sin x$ 的图象上，横坐标为 $2 π - α$ 的点的纵坐标等于 $sin α$ 。

在 $y = sin x$ 的图象上，横坐标为 $2 π - α$ 的点的纵坐标是 ___。

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5.4 三角函数的图象与性质

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

?思考

练习题

在描绘函数 y=sinx 的图象时，点 T(−417π​,sin(−417π​)) 的纵坐标应为多少？

用单位圆等分描点法画 y=sinx 在 [0,2π] 上的图象时，下列哪些点一定在该图象上？

对任意角 α，在 y=sinx 的图象上，横坐标为 2π−α 的点的纵坐标等于 sinα。

在 y=sinx 的图象上，横坐标为 2π−α 的点的纵坐标是 ___。

在描绘函数 $y = sin x$ 的图象时，点 $T (- \frac{17 π}{4}, sin (- \frac{17 π}{4}))$ 的纵坐标应为多少？

用单位圆等分描点法画 $y = sin x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的图象时，下列哪些点一定在该图象上？

对任意角 $α$ ，在 $y = sin x$ 的图象上，横坐标为 $2 π - α$ 的点的纵坐标等于 $sin α$ 。

在 $y = sin x$ 的图象上，横坐标为 $2 π - α$ 的点的纵坐标是 ___。