探究2

探究2

作 $P_1$ 关于直线 $y=x$ 的对称点 $P_5$，以 $O{P}_5$ 为终边的角 $\gamma$ 与角 $\alpha$ 有什么关系？角 $\gamma$ 与角 $\alpha$ 的三角函数值之间有什么关系？

如图5.3-5，以 $O{P}_5$ 为终边的角都是与角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ 终边相同的角，即 $\gamma =2k\pi +\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ $(k\in \mathbf{Z})$。因此，只要探究角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ 与 $\alpha$ 的三角函数值之间的关系即可。

设 $P_5(x_5,y_5)$，由于 $P_5$ 是点 $P_1$ 关于直线 $y=x$ 的对称点，可以证明

$$x_5=y_1,y_5=x_1.$$

根据三角函数的定义，得

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=y_5,\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=x_5.$$

从而得

公式五

图5.3-5

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha ,$$

$$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha .$$

你能利用平面几何的知识，就图5.3-5所示的情况证明①式吗？其他情况呢？

探究3

作 $P_5$ 关于 $y$ 轴的对称点，又能得到什么结论？

类似地，可得

公式六

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha ,$$

$$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha .$$

角 $\frac{\pi }{2}+\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？

利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。

公式一～公式六都叫做诱导公式。

例3 证明：

(1) $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha$；

(2) $\cos \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha$。

证明：(1) $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \left[\pi +\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\right]$

$$=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha ;$$

(2) $\cos \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha$。

例4 化简

$$\frac{\sin (2\pi -\alpha )\cos (\pi +\alpha )\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\cos \left(\frac{11\pi }{2}-\alpha \right)}{\cos (\pi -\alpha )\sin (3\pi -\alpha )\sin (-\pi -\alpha )\sin \left(\frac{9\pi }{2}+\alpha \right)}.$$

解：原式

$$=\frac{(-\sin \alpha )(-\cos \alpha )(-\sin \alpha )\cos \left[5\pi +\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\right]}{(-\cos \alpha )\sin (\pi -\alpha )[-\sin (\pi +\alpha )]\sin \left[4\pi +\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\right]}$$

$$=\frac{-{\sin }^2\alpha \cos \alpha \left[-\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\right]}{(-\cos \alpha )\sin \alpha [-(-\sin \alpha )]\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)}$$

$$=-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\tan \alpha .$$

例5 已知 $\sin (53^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{5}$，且 $-270^{\circ }<\alpha <-90^{\circ }$，求 $\sin (37^{\circ }+\alpha )$ 的值。

分析：联系条件与结论，注意到 $(53^{\circ }-\alpha )+(37^{\circ }+\alpha )=90^{\circ }$，由此可利用诱导公式解决问题。

解：因为 $(53^{\circ }-\alpha )+(37^{\circ }+\alpha )=90^{\circ }$，所以由诱导公式五，得

$$\sin (37^{\circ }+\alpha )=\sin [90^{\circ }-(53^{\circ }-\alpha )]$$

$$=\cos (53^{\circ }-\alpha ).$$

因为

$$-270^{\circ }<\alpha <-90^{\circ },$$

所以

$$143^{\circ }<53^{\circ }-\alpha <323^{\circ }.$$

由 $\sin (53^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{5}>0$，得 $143^{\circ }<53^{\circ }-\alpha <180^{\circ }$，

所以

$$\cos (53^{\circ }-\alpha )=-\sqrt{1-{\sin }^2(53^{\circ }-\alpha )}=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}=-\frac{2\sqrt{6}}{5},$$

所以

$$\sin (37^{\circ }+\alpha )=-\frac{2\sqrt{6}}{5}.$$

练习

1. 用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第(3)(4)(6)题精确到0.0001）： (1) $\cos \frac{65}{6}\pi$； (2) $\sin \left(-\frac{31}{4}\pi \right)$； (3) $\cos (-1182^{\circ }13^{\prime })$； (4) $\sin 670^{\circ }39^{\prime }$； (5) $\tan \left(-\frac{26\pi }{3}\right)$； (6) $\tan 580^{\circ }21^{\prime }$。

2.证明：(1） $\cos (\frac{5}{2}\pi -\alpha )=\sin \alpha ;$ (2) $\cos (\frac{7}{2}\pi +\alpha )=\sin \alpha ;$ (3） $\sin (\frac{9}{2}\pi -\alpha )=\cos \alpha ;$ (4） $\sin (\frac{11}{2}\pi -\alpha )=-\cos \alpha .$

$$\frac{\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)}{\sin \left(\frac{5\pi }{2}+\alpha \right)}\sin (\alpha -2\pi )\cos (2\pi -\alpha );$$

$${\cos }^2(-\alpha )-\frac{\tan (2\pi +\alpha )}{\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)};$$

$$\frac{\cos (\alpha -3\pi )\cos (\frac{3\pi }{2}-\alpha )}{{\sin }^2(\alpha -\frac{\pi }{2})}$$

习题5.3