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公式二

$sin (π + α) = - sin α, cos (π + α) = - cos α, tan (π + α) = tan α .$

如图5.3-3，作 $P_{1}$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_{3}$ ，则以 $O P_{3}$ 为终边的角为 $- α$ ，并且有

公式三

$sin (- α) = - sin α, cos (- α) = cos α, tan (- α) = - tan α .$

如图5.3-4，作 $P_{1}$ 关于 $y$ 轴的对称点 $P_{4}$ ，则以 $O P_{4}$ 为终边的角为 $π - α$ ，并且有

公式四

$sin (π - α) = sin α,$ $cos (π - α) = - cos α,$ $tan (π - α) = - tan α .$

例1 利用公式求下列三角函数值：

(1) $cos 22 5^{\circ} :$

(2） $sin \frac{8 π}{3}$ ·

(3） $sin (- \frac{16 π}{3})$

(4) $tan (- 204 0^{\circ}) .$

解：(1) $cos 22 5^{\circ} = cos (18 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = - cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ；

$(2) sin \frac{8 π}{3} = sin (2 π + \frac{2 π}{3}) = sin \frac{2 π}{3} = sin (π - \frac{π}{3}) = sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2};$

图5.3-3

图5.3-4

请你类比公式二，证明公式三和公式四。

$(3) sin (- \frac{16 π}{3}) = - sin \frac{16 π}{3} = - sin (5 π + \frac{π}{3}) = - (- sin \frac{π}{3}) = \frac{3}{2};$

$(4) tan (- 204 0^{\circ}) = - tan 204 0^{\circ} = - tan (6 \times 36 0^{\circ} - 12 0^{\circ}) = tan 12 0^{\circ} = tan (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - tan 6 0^{\circ} = - 3 .$

思考

由例1，你对公式一～公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？

利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：

数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数表，并通过公式一～公式四，按上述步骤解决了问题．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用.

例2 化简

$\frac{cos ( 18 0 ^{\circ} + α ) sin ( α + 36 0 ^{\circ} )}{tan ( - α - 18 0 ^{\circ} ) cos ( - 18 0 ^{\circ} + α )} .$

解：

$tan (- α - 18 0^{\circ}) = tan [- (18 0^{\circ} + α)] = - tan (18 0^{\circ} + α) = - tan α,$

$cos (- 18 0^{\circ} + α) = cos [- (18 0^{\circ} - α)] = cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α,$

$原式 = \frac{- cos α sin α}{( - tan α ) ( - cos α )} = - cos α .$

练习

1．将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：

(1) $cos \frac{13}{9} π =$ (2) $sin (1 + π) =_;$ (3） $sin (- \frac{π}{5})$ ；(4） $tan (- 7 0^{\circ} 6^{'}) =$ (5) $cos \frac{6 π}{7} =_{-};$ (6） $tan 100 0^{\circ} 2 1^{'} =$

利用公式求下列三角函数值： (1) $cos (- 42 0^{\circ})$ ； (2) $sin (- \frac{7}{6} π)$ ； (3) $tan (- 114 0^{\circ})$ ； (4) $cos (- \frac{77}{6} π)$ ； (5) $tan 31 5^{\circ}$ ； (6) $sin (- \frac{11}{4} π)$ 。
化简： (1) $sin (- α - 18 0^{\circ}) cos (- α) sin (- α + 18 0^{\circ})$ (2) $cos^{3} (- α) sin (2 π + α) tan^{3} (- α - π)$
填表：

$α$	$- \frac{4 π}{3}$	$- \frac{5 π}{4}$	$- \frac{5 π}{3}$	$- \frac{7 π}{4}$	$- \frac{8 π}{3}$	$- \frac{11 π}{4}$
$sin α$
$cos α$
$tan α$

下面在探究1的基础上继续探究。

练习题

设角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P_{1} (x, y)$ ，且 $x \neq = 0$ 。利用单位圆上三角函数的定义和关于 $x$ 轴对称的几何背景，角 $- α$ 的三角函数关系应为哪一组？

sin (- α) = sin α, cos (- α) = - cos α, tan (- α) = - tan α

sin (- α) = - sin α, cos (- α) = cos α, tan (- α) = - tan α

sin (- α) = - sin α, cos (- α) = - cos α, tan (- α) = tan α

sin (- α) = sin α, cos (- α) = cos α, tan (- α) = tan α

下列说法中，哪些能由单位圆上的坐标定义及圆的对称性推出？

A. 关于原点对称时，点的坐标由

(x, y)

变为

(- x, - y)

，因此

sin (π + α) = - sin α

。

B. 关于

x

轴对称时，点的坐标由

(x, y)

变为

(- x, y)

，因此

cos (- α) = - cos α

。

C. 关于

y

轴对称时，点的坐标由

(x, y)

变为

(- x, y)

，因此

cos (π - α) = - cos α

。

D. 关于

x

轴对称时，点的坐标由

(x, y)

变为

(x, - y)

，因此

tan (- α) = - tan α

。

E. 关于

y

轴对称时，点的坐标由

(x, y)

变为

(- x, y)

，因此

tan (π - α) = tan α

。

若角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P_{1} (x, y)$ ，则关于原点对称得到的角 $π + α$ 与关于 $y$ 轴对称得到的角 $π - α$ 都会使横坐标变为 $- x$ ，所以它们都满足 $cos (π + α) = - cos α$ 和 $cos (π - α) = - cos α$ 。

历史上数学家制作三角函数表，而本节说明利用诱导公式可把任意角三角函数转化为 ___ 三角函数，从而配合函数表进行求值。

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公式二

公式二

公式三

公式四

思考

练习

练习题

设角 α 的终边与单位圆交于点 P1​(x,y)，且 x=0。利用单位圆上三角函数的定义和关于 x 轴对称的几何背景，角 −α 的三角函数关系应为哪一组？

下列说法中，哪些能由单位圆上的坐标定义及圆的对称性推出？

若角 α 的终边与单位圆交于点 P1​(x,y)，则关于原点对称得到的角 π+α 与关于 y 轴对称得到的角 π−α 都会使横坐标变为 −x，所以它们都满足 cos(π+α)=−cosα 和 cos(π−α)=−cosα。

历史上数学家制作三角函数表，而本节说明利用诱导公式可把任意角三角函数转化为 ___ 三角函数，从而配合函数表进行求值。

设角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P_{1} (x, y)$ ，且 $x \neq = 0$ 。利用单位圆上三角函数的定义和关于 $x$ 轴对称的几何背景，角 $- α$ 的三角函数关系应为哪一组？

若角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P_{1} (x, y)$ ，则关于原点对称得到的角 $π + α$ 与关于 $y$ 轴对称得到的角 $π - α$ 都会使横坐标变为 $- x$ ，所以它们都满足 $cos (π + α) = - cos α$ 和 $cos (π - α) = - cos α$ 。