探究

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公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？

因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系。由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系。

如图5.2-7，设点 $P(x,y)$ 是角α的终边与单位圆的交点。过P作x轴的垂线，交x轴于M，则 $△OMP$ 是直角三角形，而且 $OP=1$。由勾股定理有

$$O{M}^2+M{P}^2=1.$$

因此， $x^2+y^2=1$ ，即

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$$

显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。

根据三角函数的定义，当 $\alpha \ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$ 时，有

$$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha .$$

图5.2-7

这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。

例6 已知 $\sin \alpha =-\frac{3}{5}$ ，求 $\cos \alpha ,\tan \alpha$ 的值。

解：因为 $\sin \alpha <0$， $\sin \alpha \ne -1$ ，所以α是第三或第四象限角。

由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 得

$${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}.$$

如果α是第三象限角，那么 $\cos \alpha <0$ ，于是

$$\cos \alpha =-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5},$$

从而

$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\left(-\frac{3}{5}\right)\times \left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{3}{4}.$$

如果α是第四象限角，那么

$$\cos \alpha =\frac{4}{5},\tan \alpha =-\frac{3}{4}.$$

例7 求证: $\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}$。

证法1：由 $\cos x\ne 0$ ，知 $\sin x\ne -1$ ，所以 $1+\sin x\ne 0$ ，于是

$$\text{左边}=\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{1-{\sin }^{2}x}=\frac{\cos x(1+\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}=\text{右边}.$$

今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式。

所以，原式成立。

证法2：因为

$$\begin{array}{c}(1-\sin x)(1+\sin x)\\ =1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x\\ =\cos x\cos x,\end{array}$$

且 $1-\sin x\ne 0$，$\cos x\ne 0$，所以

$$\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}.$$

练习

1. 已知 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，且α为第三象限角，求 $\sin \alpha$，$\tan \alpha$ 的值。

2. 已知 $\tan \phi =-\sqrt{3}$，求 $\sin \phi$，$\cos \phi$ 的值。

3. 已知 $\sin \theta =0.35$，求 $\cos \theta$，$\tan \theta$ 的值（精确到0.01）。

4. 化简：(1) $\cos \theta \tan \theta$；(2) $\frac{2{\cos }^2\alpha -1}{1-2{\sin }^2\alpha }$；(3) $(1+{\tan }^2\alpha ){\cos }^2\alpha$。

5. 求证：${\sin }^4\alpha +{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

习题5.2

复习巩固

1. 用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：(1) $-\frac{17\pi }{3}$；(2) $\frac{21\pi }{4}$；(3) $\frac{23\pi }{6}$；(4) $1500^{\circ }$。

2. 已知角α的终边上有一点P的坐标是 $(3a,4a)$，其中 $a\ne 0$，求 $\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\tan \alpha$ 的值。

3. 计算：

(1) $6\sin (-90^{\circ })+3\sin 0^{\circ }-8\sin 270^{\circ }+12\cos 180^{\circ }$；

(2) $10\cos 270^{\circ }+4\sin 0^{\circ }+9\tan 0^{\circ }+15\cos 360^{\circ }$；

(3) $2\cos \frac{\pi }{2}-\tan \frac{\pi }{4}+\frac{3}{4}{\tan }^2\frac{\pi }{6}-\sin \frac{\pi }{6}+{\cos }^2\frac{\pi }{6}+\sin \frac{3\pi }{2}$；

(4) ${\sin }^2\frac{\pi }{3}+{\cos }^4\frac{3\pi }{2}-{\tan }^2\frac{\pi }{3}$。

4. 化简：

(1) $a\sin 0^{\circ }+b\cos 90^{\circ }+c\tan 180^{\circ }$；

(2) $-p^2\cos 180^{\circ }+q^2\sin 90^{\circ }-2pq\cos 0^{\circ }$；

(3) $a^2\cos 2\pi -b^2\sin \frac{3\pi }{2}+ab\cos \pi -ab\sin \frac{\pi }{2}$；

(4) $m\tan 0+n\cos \frac{\pi }{2}-p\sin \pi -q\cos \frac{3\pi }{2}-r\sin 2\pi$。

5. 确定下列三角函数值的符号：(1) $\sin 186^{\circ }$；(2) $\tan 505^{\circ }$；(3) $\sin 7.6\pi$；(4) $\tan \left(-\frac{23\pi }{4}\right)$；(5) $\cos 940^{\circ }$；(6) $\cos \left(-\frac{59\pi }{17}\right)$。

6. （1）已知 $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$，且α为第四象限角，求 $\cos \alpha$，$\tan \alpha$ 的值；（2）已知 $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$，且α为第二象限角，求 $\sin \alpha$，$\tan \alpha$ 的值；（3）已知 $\tan \alpha =-\frac{3}{4}$，求 $\sin \alpha$，$\cos \alpha$ 的值；（4）已知 $\cos \alpha =0.68$，求 $\sin \alpha$，$\tan \alpha$ 的值（精确到0.01）。