探究

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根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图5.2-6中的括号。

表5.2-1

三角函数	定义域
sin α
cos α
tan α

图5.2-6

例3 求证：角θ为第三象限角的充要条件是

$$\sin \theta <0,\text{\hspace{1em}(①)}$$

$$\tan \theta >0.\text{\hspace{1em}(②)}$$

证明：先证充分性，即如果①②式都成立，那么θ为第三象限角。

因为①式 $\sin \theta <0$ 成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；

又因为②式 $\tan \theta >0$ 成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限。

因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限。于是角θ为第三象限角。

必要性请同学们自己证明。

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等。

由此得到一组公式：

公式一

$$\sin (\alpha +k\cdot 2\pi )=\sin \alpha ,$$

$$\cos (\alpha +k\cdot 2\pi )=\cos \alpha ,$$

$$\tan (\alpha +k\cdot 2\pi )=\tan \alpha ,$$

其中k∈Z。

由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现。

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π（或 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$）角的三角函数值。

例4 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：

(1) $\cos 250^{\circ }$； (2) $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$；

(3) $\tan (-672^{\circ })$； (4) $\tan 3\pi$。

解：（1）因为 $250^{\circ }$ 是第三象限角，所以

$$\cos 250^{\circ }<0;$$

（2）因为 $-\frac{\pi }{4}$ 是第四象限角，所以

$$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)<0;$$

（3）因为 $\tan (-672^{\circ })=\tan (48^{\circ }-2\times 360^{\circ })=\tan 48^{\circ }$，而 $48^{\circ }$ 是第一象限角，所以 $\tan (-672^{\circ })>0$;

（4）因为

$$\tan 3\pi =\tan (\pi +2\pi )=\tan \pi ,$$

而π的终边在x轴上，所以

$$\tan \pi =0.$$

请同学们自己完成用计算工具验证。

例5 求下列三角函数值：

(1) $\sin 1480^{\circ }10^{\prime }$ （精确到0.001）；

(2) $\cos \frac{9\pi }{4}$;

(3) $\tan \left(-\frac{11\pi }{6}\right)$。

可以直接利用计算工具求三角函数的值。用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制。

解：(1) $$\sin 1480^{\circ }10^{\prime }=\sin (40^{\circ }10^{\prime }+4\times 360^{\circ })=\sin 40^{\circ }10^{\prime }\approx 0.645;$$

(2) $\cos \frac{9\pi }{4}=\cos \left(\frac{\pi }{4}+2\pi \right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

(3) $\tan \left(-\frac{11\pi }{6}\right)=\tan \left(\frac{\pi }{6}-2\pi \right)=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

练习

1.填表：

α	$2\pi$	$\frac{13\pi }{6}$	$-\pi$	$-\frac{4\pi }{3}$	$\frac{15\pi }{4}$
sin α
cos α
tan α

2．（口答）设α是三角形的一个内角，在sinα，cosα，tanα, $\tan \frac{\alpha }{2}$ 中，哪些有可能取负值？

3．确定下列三角函数值的符号： (1) $\sin 156^{\circ }$； (2) $\cos \frac{16}{5}\pi$； (3) $\cos (-450^{\circ })$； (4) $\tan \left(-\frac{17}{8}\pi \right)$； (5) $\sin \left(-\frac{4\pi }{3}\right)$； (6) $\tan 556^{\circ }$。

4.对于①sinθ>0，②sinθ<0，③cosθ>0，④cosθ<0，⑤tanθ>0与⑥tanθ<0，选择恰当的关系式序号填空：

（1）角θ为第一象限角的充要条件是

（2）角θ为第二象限角的充要条件是

（3）角θ为第三象限角的充要条件是

（4）角θ为第四象限角的充要条件是

5.求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）：

(1) $\cos 1109^{\circ }$； (2) $\tan \frac{19\pi }{3}$； (3) $\sin (-1050^{\circ })$； (4) $\tan \left(-\frac{31\pi }{4}\right)$。

5.2.2 同角三角函数的基本关系