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5.2.1 三角函数的概念

根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题。

如图5.2-2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1，0），点P的坐标为 $(x, y)$ 。射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP。

图5.2-2

探究

当 $α = \frac{π}{6}$ 时，点P的坐标是什么？当 $α = \frac{π}{2}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ 时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？

一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？

利用勾股定理可以发现，当 $α = \frac{π}{6}$ 时，点P的坐标是 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ ；当 $α = \frac{π}{2}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ 时，点P的坐标分别是 $(0, 1)$ 和 $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ ，它们都是唯一确定的。

一般地，任意给定一个角 $α \in R$ ，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的。所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数。下面给出这些函数的定义。

设α是一个任意角， $α \in R$ ，它的终边OP与单位圆相交于点 $P (x, y)$ ：

（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作 $sin α$ ，即

$y = sin α;$

（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作 $cos α$ ，即 $x = cos α$ ；

（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值 $\frac{y}{x}$ 叫做α的正切，记作 $tan α$ ，即

$\frac{y}{x} = tan α (x \neq = 0) .$

可以看出，当 $α = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$ 时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以 $\frac{y}{x} = tan α$ 无意义。除此之外，对于确定的角α， $\frac{y}{x}$ 的值也是唯一确定的。所以， $\frac{y}{x} = tan α (x \neq = 0)$ 也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数。

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数 $y = sin x, x \in R$ ；

余弦函数 $y = cos x, x \in R$ ；

正切函数 $y = tan x, x \in {x ∣ x \neq = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)}$ 。

探究

在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。设 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为 $z_{1}$ ，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为 $y_{1}$ 。 $z_{1}$ 与 $y_{1}$ 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

例1 求 $\frac{5 π}{3}$ 的正弦、余弦和正切值。

解：在直角坐标系中，作 $∠ A O B = \frac{5 π}{3}$ （图5.2-3）。易知 $∠ A O B$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ ，所以，

$sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2},$

图5.2-3

$cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2},$

$tan \frac{5 π}{3} = - 3 .$

例2 如图5.2-4，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为 $(x, y)$ ，点P与原点的距离为r。求证： $sin α = \frac{y}{r}, cos α = \frac{x}{r}, tan α = \frac{y}{x}$ 。

分析：观察图5.2-5，由 $△ O M P \sim △ O M_{0} P_{0}$ ，根据三角函数的定义可以得到证明。

图5.2-4

证明：如图5.2-5，设角α的终边与单位圆交于点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ ，分别过点P， $P_{0}$ 作x轴的垂线PM， $P_{0} M_{0}$ ，垂足分别为M， $M_{0}$ ，则

$P_{0} M_{0} = ∣ y_{0} ∣, P M = ∣ y ∣,$ $O M_{0} = ∣ x_{0} ∣, O M = ∣ x ∣,$ $△ O M P \sim △ O M_{0} P_{0} .$

于是

$\frac{P _{0} M _{0}}{1} = \frac{P M}{r},$

图5.2-5

即

$∣ y_{0} ∣ = \frac{∣ y ∣}{r} .$

因为 $y_{0}$ 与y同号，所以

$y_{0} = \frac{y}{r},$

即

$sin α = \frac{y}{r} .$

同理可得

$cos α = \frac{x}{r}, tan α = \frac{y}{x} .$

根据勾股定理， $r = x^{2} + y^{2}$ 。由例2可知，只要知道角α终边上任意一点P的坐标，就可以求得角α的各个三角函数值，并且这些函数值不会随P点位置的改变而改变。

练习

利用三角函数定义，求 $0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ 的三个三角函数值。
利用三角函数定义，求 $\frac{7 π}{6}$ 的三个三角函数值。
已知角θ的终边过点 $P (- 12, 5)$ ，求角θ的三角函数值。
已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1 rad/s。求2 s时点P所在的位置。

学习了三角函数的定义，接下来研究它们的一些性质。

练习题

设角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (x, y)$ 。根据本节定义，下列说法正确的是哪一项？

sin α = x

，

cos α = y

，

tan α = \frac{x}{y}

sin α = y

，

cos α = x

，当

x \neq = 0

时

tan α = \frac{y}{x}

sin α = \frac{x}{y}

，

cos α = \frac{y}{x}

，

tan α = y

sin α = x + y

，

cos α = x - y

，

tan α = x y

角 $α$ 的终边经过点 $P (3, - 4)$ ，且 $P$ 不在单位圆上。若 $r = O P$ ，则 $sin α$ 、 $cos α$ 、 $tan α$ 分别为多少？

sin α = \frac{3}{5}

，

cos α = - \frac{4}{5}

，

tan α = - \frac{3}{4}

sin α = - \frac{4}{5}

，

cos α = \frac{3}{5}

，

tan α = - \frac{4}{3}

sin α = - 4

，

cos α = 3

，

tan α = - \frac{4}{3}

sin α = \frac{4}{5}

，

cos α = - \frac{3}{5}

，

tan α = - \frac{4}{3}

下列角中， $tan x$ 有意义的是哪一个？

\frac{π}{2}

- \frac{π}{2}

\frac{3 π}{2}

π

关于三角函数的定义域与定义，下列说法正确的有哪几项？

A. 正弦函数通常记为

y = sin x

，其定义域为

R

B. 余弦函数通常记为

y = cos x

，其定义域为

R

C. 正切函数通常记为

y = tan x

，其定义域为

{x ∣ x \neq = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)}

D. 当角的终边与单位圆交点横坐标为

0

时，

tan x

无意义

E. 对任意实数

x

，

tan x

都有意义

角 $21 0^{\circ}$ 化为弧度是 $\frac{7 π}{6}$ ，其终边与单位圆的交点为 $(- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$ ，所以 $sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}$ ， $cos \frac{7 π}{6} = - \frac{3}{2}$ 。

对于同一个角 $α$ ，只要点 $P$ 在角 $α$ 的终边上且 $P \neq = O$ ，用 $P$ 的坐标计算得到的 $sin α$ 、 $cos α$ 、 $tan α$ 的值不会随 $P$ 的位置改变而改变。

正切函数 $y = tan x$ 的定义域可写为 ${x ∣ x \neq =$ ___ $}$ 。

已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (- 12, 5)$ 。求 $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ 。

已知角 $24 0^{\circ}$ 的终边与单位圆交于点 $P$ 。利用角度与弧度的换算以及三角函数的定义，点 $P$ 的坐标和 $tan 24 0^{\circ}$ 分别为哪一项？

P (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

，

tan 24 0^{\circ} = 3

P (- \frac{3}{2}, - \frac{1}{2})

，

tan 24 0^{\circ} = \frac{3}{3}

P (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

，

tan 24 0^{\circ} = - 3

P (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

，

tan 24 0^{\circ} = - 3

一个点从单位圆上点 $A (1, 0)$ 出发，按顺时针方向旋转了 $\frac{3 π}{2}$ 。关于对应角 $α$ 及其三角函数值，下列说法正确的是哪些？

A. 由于顺时针旋转，

α = - \frac{3 π}{2}

B. 该角的终边与单位圆交于点

(0, 1)

sin α = 1

cos α = 0

tan α = 0

tan α

无意义

判断正误：若角 $α$ 的终边经过点 $P (- 6, 8)$ ，则取同一终边上的点 $Q (- 3, 4)$ 计算三角函数值会得到相同结果，并且 $sin α = \frac{4}{5}$ ， $cos α = - \frac{3}{5}$ ， $tan α = - \frac{4}{3}$ 。

在半径为 $2$ 的圆中，若逆时针方向的弧长为 $π$ ，则所对圆心角为 $α = \frac{π}{2}$ ；把该角放到单位圆中，其终边与单位圆交点的横坐标为 $0$ ，因此 $tan α$ ___。

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