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角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢？

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以

$36 0^{\circ} = 2 π rad, 18 0^{\circ} = π rad,$

$1^{\circ} = \frac{π}{180} rad \approx 0.01745 rad .$

反过来有

$1 rad = (\frac{180}{π})^{\circ} \approx 57.3 0^{\circ} = 5 7^{\circ} 1 8^{'} .$

一般地，只需根据

$18 0^{\circ} = π rad 1^{\circ} = \frac{π}{180} rad \approx 0.01745 rad 1 rad = (\frac{180}{π})^{\circ} \approx 57.3 0^{\circ}$

就可以进行弧度与角度的换算了.

例4按照下列要求，把 $6 7^{\circ} 3 0^{'}$ 化成弧度：

（1）精确值; （2）精确到0.001的近似值.

解：（1）因为 $6 7^{\circ} 3 0^{'} = (\frac{135}{2})^{\circ}$ ，所以

$6 7^{\circ} 3 0^{'} = \frac{135}{2} \times \frac{π}{180} rad = \frac{3}{8} π rad .$

公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家．1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的 $\frac{1}{2 π}$ ．这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.

（2）利用计算器有

因此， $6 7^{\circ} 3 0^{'} \approx 1.178 rad .$

例5将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001).

解：利用计算器有

因此，3.14 rad≈179.909°.

今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度

（1）已知α是锐角，那么 2α是（）. （A）第一象限角（B）第二象限角（C）小于 $18 0^{\circ}$ 的正角（D）第一或第二象限角

（2）已知α是第一象限角，那么 $\frac{α}{2}$ 是（）. （A）第一象限角（B）第二象限角（C）第一或第二象限角（D）第一或第三象限角

要在半径OA=100 cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112 cm，那么圆心角AOB是多少度（可用计算工具，精确到1°）？
已知弧长50 cm的弧所对圆心角为 $20 0^{\circ}$ ，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1 cm）。

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每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积 $S_{1}$ 。

（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S，求 $S_{1}$ 与S的比值；

（2）要使 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到1°）？

（1）时间经过4 h（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？

（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由。（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，利用分针与时针转动的速度，建立t关于n的函数解析式，并求解。）

已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿。

（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；

（2）如果大轮的转速为180 r/min（转/分），小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？

5.2 三角函数的概念

图5.2-1

在弧度制下，我们已经将角的范围扩展到全体实数。下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题。不失一般性，先研究单位圆上点的运动。现在的任务是：

如图5.2-1，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况。

练习题

把 $15 0^{\circ}$ 化成弧度，结果是（）。

\frac{2 π}{3} rad

\frac{5 π}{6} rad

\frac{3 π}{5} rad

\frac{6 π}{5} rad

把 $\frac{7 π}{6} rad$ 化成角度，结果是（）。

12 0^{\circ}

15 0^{\circ}

21 0^{\circ}

24 0^{\circ}

关于 $6 7^{\circ} 3 0^{'}$ 化成弧度，下列结果正确的是（）。

A. 精确值为

\frac{3 π}{8} rad

，近似值为

1.178 rad

B. 精确值为

\frac{5 π}{12} rad

，近似值为

1.309 rad

C. 精确值为

\frac{3 π}{4} rad

，近似值为

2.356 rad

D. 精确值为

\frac{8 π}{3} rad

，近似值为

8.378 rad

下列说法中正确的有（）。

A. 零角用角度制和弧度制度量时，量数都为

0

36 0^{\circ} = 2 π rad

，所以

18 0^{\circ} = π rad

1 rad = (\frac{180}{π})^{\circ} \approx 57.3 0^{\circ}

6 7^{\circ} 3 0^{'} = \frac{3 π}{8} rad \approx 1.178 rad

3.14 rad \approx 179.90 9^{\circ}

1^{\circ} = \frac{180}{π} rad

关于弧度制的思想、意义以及单位圆模型，下列说法正确的有（）。

A. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家之一

B. 弧度制思想把圆的直径作为弧长的度量单位

C. 弧度制把线段与弧的度量统一起来，有助于简化三角公式及计算

D. 在弧度制下，角的范围可以扩展到全体实数

E. 研究单位圆上点

P

从点

A

出发逆时针旋转，可以建立刻画点

P

位置变化的数学模型

把零角从角度制换成弧度制时量数仍为 $0$ ；把 $3.14 rad$ 化成角度，近似为 $179.90 9^{\circ}$ 。

在弧度制下，角的范围可以扩展到全体实数；用弧度制表示角时， $2 π rad$ 通常可简写为 $2 π$ 。

把 $22 5^{\circ}$ 化成弧度，结果为 ___。

在弧度制下，角的范围已经扩展到 ___。

用弧度表示所有与 $3 0^{\circ}$ 终边相同的角，并说明弧度制思想的一个意义。

在单位圆上，点 $P$ 从点 $A$ 出发逆时针旋转 $22 5^{\circ}$ 。若用弧度制表示这个旋转角，并考虑与它终边相同的角，下列表示正确的是哪一项？

\frac{5 π}{4}

，同终边角为

\frac{5 π}{4} + 2 k π (k \in Z)

\frac{4 π}{5}

，同终边角为

\frac{4 π}{5} + 2 k π (k \in Z)

\frac{5 π}{4}

，同终边角为

\frac{5 π}{4} + k π (k \in Z)

\frac{9 π}{4}

，同终边角为

\frac{9 π}{4} + 2 k π (k \in Z)

半径为 $4$ 的圆上有一点 $P$ ，从起点 $A$ 开始绕圆心旋转。若点 $P$ 逆时针转过的弧长为 $6 π$ ，则下列说法正确的有哪几项？

A. 该圆心角的弧度数为

\frac{3 π}{2}

B. 该圆心角等于

27 0^{\circ}

C. 若在单位圆上转过同样的角，则对应弧长为

\frac{3 π}{2}

D. 该旋转角是负角

E. 该角与

- \frac{π}{2}

终边相同

判断正误：在弧度制下，单位圆上点 $P$ 从点 $A$ 出发逆时针旋转 $\frac{7 π}{6}$ 后的位置，与它逆时针旋转 $21 0^{\circ}$ 后的位置相同。

在单位圆中，点 $P$ 从点 $A$ 出发逆时针旋转 $13 5^{\circ}$ ，用弧度制表示这个角为 ___。

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5.2 三角函数的概念

练习题

把 150∘ 化成弧度，结果是（ ）。

把 67π​rad 化成角度，结果是（ ）。

关于 67∘30′ 化成弧度，下列结果正确的是（ ）。

下列说法中正确的有（ ）。

关于弧度制的思想、意义以及单位圆模型，下列说法正确的有（ ）。

把零角从角度制换成弧度制时量数仍为 0；把 3.14rad 化成角度，近似为 179.909∘。

在弧度制下，角的范围可以扩展到全体实数；用弧度制表示角时，2πrad 通常可简写为 2π。

把 225∘ 化成弧度，结果为 ___。

在弧度制下，角的范围已经扩展到 ___。

用弧度表示所有与 30∘ 终边相同的角，并说明弧度制思想的一个意义。

在单位圆上，点 P 从点 A 出发逆时针旋转 225∘。若用弧度制表示这个旋转角，并考虑与它终边相同的角，下列表示正确的是哪一项？

半径为 4 的圆上有一点 P，从起点 A 开始绕圆心旋转。若点 P 逆时针转过的弧长为 6π，则下列说法正确的有哪几项？

判断正误：在弧度制下，单位圆上点 P 从点 A 出发逆时针旋转 67π​ 后的位置，与它逆时针旋转 210∘ 后的位置相同。

在单位圆中，点 P 从点 A 出发逆时针旋转 135∘，用弧度制表示这个角为 ___。

把 $15 0^{\circ}$ 化成弧度，结果是（）。

把 $\frac{7 π}{6} rad$ 化成角度，结果是（）。

关于 $6 7^{\circ} 3 0^{'}$ 化成弧度，下列结果正确的是（）。

下列说法中正确的有（）。

关于弧度制的思想、意义以及单位圆模型，下列说法正确的有（）。

把零角从角度制换成弧度制时量数仍为 $0$ ；把 $3.14 rad$ 化成角度，近似为 $179.90 9^{\circ}$ 。

在弧度制下，角的范围可以扩展到全体实数；用弧度制表示角时， $2 π rad$ 通常可简写为 $2 π$ 。

把 $22 5^{\circ}$ 化成弧度，结果为 ___。

用弧度表示所有与 $3 0^{\circ}$ 终边相同的角，并说明弧度制思想的一个意义。

在单位圆上，点 $P$ 从点 $A$ 出发逆时针旋转 $22 5^{\circ}$ 。若用弧度制表示这个旋转角，并考虑与它终边相同的角，下列表示正确的是哪一项？

半径为 $4$ 的圆上有一点 $P$ ，从起点 $A$ 开始绕圆心旋转。若点 $P$ 逆时针转过的弧长为 $6 π$ ，则下列说法正确的有哪几项？

判断正误：在弧度制下，单位圆上点 $P$ 从点 $A$ 出发逆时针旋转 $\frac{7 π}{6}$ 后的位置，与它逆时针旋转 $21 0^{\circ}$ 后的位置相同。

在单位圆中，点 $P$ 从点 $A$ 出发逆时针旋转 $13 5^{\circ}$ ，用弧度制表示这个角为 ___。