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5.1.2 弧度制

度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 $\frac{1}{360}$ ，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制.

如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.

设 $α = n^{\circ}, O P = r$ ，点P所形成的圆弧 $P P^{'}$ 的长为l．由初中所学知识可知 $l = \frac{nπ r}{180}$ ，于是

$\frac{l}{r} = n \frac{π}{180} .$

图5.1-9

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如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q（不同于点O)， $O Q = r_{1}$ ．在旋转过程中，点Q所形成的圆弧 $Q Q_{1}$ 的长为 $l_{1}$ , $l_{1}$ 与 $r_{1}$ 的比值是多少？你能得出什么结论？

图5.1-10

可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图5.1-11，在单位圆O中，AB的长等于1, $∠ A O B$ 就是1弧度的角.

根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么

$∣ α ∣= \frac{l}{r}$

图5.1-11

其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或小于 $- 2 π$ 的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角.

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

练习题

下列关于角度制的说法，正确的是哪一项？

1^{\circ}

的角等于周角的

\frac{1}{180}

1^{\circ}

的角等于周角的

\frac{1}{360}

C. 用弧长与半径的比值来度量角的单位制叫角度制

D. 角度制只适用于正角，不适用于负角

若圆心角为 $n^{\circ}$ ，半径为 $r$ ，它所对的弧长为 $l$ ，则 $l$ 等于多少？

\frac{nπ r}{180}

\frac{180 r}{nπ}

\frac{n r}{180 π}

\frac{360 π r}{n}

在半径为 $5$ 的圆中，一段弧长为 $10$ ，这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为多少？

\frac{1}{2}

2

5

50

关于单位圆和 $1$ 弧度角，下列说法正确的有哪些？

A. 半径为

1

的圆叫做单位圆

B. 在单位圆中，弧长为

1

的弧所对的圆心角是

1

弧度

C. 在单位圆中，任意圆心角的弧度数绝对值都等于它所对弧长

D. 只有单位圆中才可以定义

1

弧度的角

E. 若圆的半径为

3

，弧长也为

3

，则该弧所对圆心角也是

1

弧度

同一个圆心角在不同半径的圆中所对弧长可能不同，但弧长与半径的比值相同。

顺时针旋转形成的角，其弧度数一定是正数。

在半径为 $r$ 的圆中，弧长为 $l$ 的弧所对圆心角为 $α rad$ ，则 $∣ α ∣ =$ ___。

弧度单位用符号 ___ 表示，读作弧度。

为什么可以用弧长与半径的比值来度量圆心角？

在直角坐标系中，角的顶点在原点、始边与 $x$ 轴非负半轴重合。若一个角按顺时针方向旋转，且在半径为 $3$ 的圆上所对弧长为 $2 π$ ，则这个角的弧度数是下列哪一个？

\frac{2 π}{3}

- \frac{2 π}{3}

6 π

- 6 π

已知角 $α$ 的终边与 $3 0^{\circ}$ 角的终边相同。根据同终边角和弧度制的知识，下列说法正确的有哪几项？

α

可以表示为

3 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}

，其中

k \in Z

3 0^{\circ}

对应的弧度数为

\frac{π}{6}

C. 与

3 0^{\circ}

终边相同的角都必须是正角

39 0^{\circ}

与

3 0^{\circ}

终边相同，且

39 0^{\circ}

的弧度数大于

2 π

E. 所有与

3 0^{\circ}

终边相同的角都可以只写成

3 0^{\circ} + k \cdot 18 0^{\circ}

，其中

k \in Z

判断正误：若两个角的旋转方向相同且旋转量相等，则这两个角相等；在弧度制下，它们的弧度数也相同。

在单位圆中，若某圆心角按逆时针方向旋转，且所对弧长为 $1$ ，则该角是 ___ 的角。

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5.1.2 弧度制

5.1.2 弧度制

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练习题

下列关于角度制的说法，正确的是哪一项？

若圆心角为 n∘，半径为 r，它所对的弧长为 l，则 l 等于多少？

在半径为 5 的圆中，一段弧长为 10，这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为多少？

关于单位圆和 1 弧度角，下列说法正确的有哪些？

同一个圆心角在不同半径的圆中所对弧长可能不同，但弧长与半径的比值相同。

顺时针旋转形成的角，其弧度数一定是正数。

在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对圆心角为 αrad，则 ∣α∣= ___。

弧度单位用符号 ___ 表示，读作弧度。

为什么可以用弧长与半径的比值来度量圆心角？

在直角坐标系中，角的顶点在原点、始边与 x 轴非负半轴重合。若一个角按顺时针方向旋转，且在半径为 3 的圆上所对弧长为 2π，则这个角的弧度数是下列哪一个？

已知角 α 的终边与 30∘ 角的终边相同。根据同终边角和弧度制的知识，下列说法正确的有哪几项？

判断正误：若两个角的旋转方向相同且旋转量相等，则这两个角相等；在弧度制下，它们的弧度数也相同。

在单位圆中，若某圆心角按逆时针方向旋转，且所对弧长为 1，则该角是 ___ 的角。

若圆心角为 $n^{\circ}$ ，半径为 $r$ ，它所对的弧长为 $l$ ，则 $l$ 等于多少？

在半径为 $5$ 的圆中，一段弧长为 $10$ ，这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为多少？

关于单位圆和 $1$ 弧度角，下列说法正确的有哪些？

在半径为 $r$ 的圆中，弧长为 $l$ 的弧所对圆心角为 $α rad$ ，则 $∣ α ∣ =$ ___。

在直角坐标系中，角的顶点在原点、始边与 $x$ 轴非负半轴重合。若一个角按顺时针方向旋转，且在半径为 $3$ 的圆上所对弧长为 $2 π$ ，则这个角的弧度数是下列哪一个？

已知角 $α$ 的终边与 $3 0^{\circ}$ 角的终边相同。根据同终边角和弧度制的知识，下列说法正确的有哪几项？

在单位圆中，若某圆心角按逆时针方向旋转，且所对弧长为 $1$ ，则该角是 ___ 的角。