探究

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将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB（图5.1-6)，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？

图5.1-6

不难发现，在图5.1-6中，如果 $-32^{\circ }$ 角的终边是OB，那么 $328^{\circ },-392^{\circ }$ ，…角的终边都是OB，并且与 $-32^{\circ }$ 角终边相同的这些角都可以表示成 $-32^{\circ }$ 的角与k个 $(k\in \mathbf{Z})$ 周角的和，如

$$\begin{array}{rl}328^{\circ }=-32^{\circ }+360^{\circ }& (\text{此时}k=1),\\ -392^{\circ }=-32^{\circ }-360^{\circ }& (\text{此时}k=-1).\end{array}$$

设 $S=\{\beta \mid \beta =-32^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}$ ，则 $328^{\circ },-392^{\circ }$ 角都是S的元素， $-32^{\circ }$ 角也是S 的元素（此时 $k=0$ ） ．因此，所有与 $-32^{\circ }$ 角终边相同的角，连同 $-32^{\circ }$ 角在内，都是集合S 的元素；反过来，集合S的任一元素显然与 $-32^{\circ }$ 角的终边相同.

一般地，我们有：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

$$S=\{\beta \mid \beta =\alpha +k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\},$$

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.

例1 在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，找出与 $-950^{\circ }12^{\prime }$ 角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转 $360^{\circ }$ 后回到原来的位置．因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.

解： $-950^{\circ }12^{\prime }=129^{\circ }48^{\prime }-3\times 360^{\circ }$ ，所以在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，与 $-950^{\circ }12^{\prime }$ 角终边相同的角是 $129^{\circ }48^{\prime }$ ，它是第二象限角.

例2 写出终边在y轴上的角的集合.

解：在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，终边在y轴上的角有两个，即 $90^{\circ }$ ， $270^{\circ }$ 角（图5.1-7)．因此，所有与 $90^{\circ }$ 角终边相同的角构成集合

$$S_1=\{\beta \mid \beta =90^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\},$$

图5.1-7

而所有与 $270^{\circ }$ 角终边相同的角构成集合

$$S_2=\{\beta \mid \beta =270^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\},$$

于是，终边在y轴上的角的集合

$$\begin{array}{rl}& S=S_1\bigcup S_2\\ & =\{\beta \mid \beta =90^{\circ }+2k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}\bigcup \{\beta \mid \beta =90^{\circ }+180^{\circ }+2k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}\\ & =\{\beta \mid \beta =90^{\circ }+2k\cdot 180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}\bigcup \{\beta \mid \beta =90^{\circ }+(2k+1)180^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}\\ & =\{\beta \mid \beta =90^{\circ }+n\cdot 180^{\circ },n\in \mathbf{Z}\}.\end{array}$$

例3 写出终边在直线 $y=x$ 上的角的集合S．S中满足不等式 $-360^{\circ }⩽\beta <720^{\circ }$ 的元素 $\beta$ 有哪些？

解：如图5.1-8，在直角坐标系中画出直线 $y=x$ ，可以发现它与x轴的夹角是 $45^{\circ }$ ，在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，终边在直线 $y=x$ 上的角有两个： $45^{\circ },225^{\circ }$ ，因此，终边在直线 $y=x$ 上的角的集合

$$\begin{array}{r}S=\{\beta |\beta =45^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}\cup \\ \{\beta |\beta =225^{\circ }+k\cdot 360^{\circ },k\in \mathbf{Z}\}\\ =\{\beta |\beta =45^{\circ }+n\cdot 180^{\circ },n\in \mathbf{Z}\}.\end{array}$$

图5.1-8

S 中适合不等式 $-360^{\circ }⩽\beta <720^{\circ }$ 的元素 $\beta$ 有

$$\begin{array}{rl}& 45^{\circ }-2\times 180^{\circ }=-315^{\circ },\\ & 45^{\circ }-1\times 180^{\circ }=-135^{\circ },\\ & 45^{\circ }+0\times 180^{\circ }=45^{\circ },\\ & 45^{\circ }+1\times 180^{\circ }=225^{\circ },\\ & 45^{\circ }+2\times 180^{\circ }=405^{\circ },\\ & 45^{\circ }+3\times 180^{\circ }=585^{\circ }.\end{array}$$

练习

1．（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

2．（口答）今天是星期三，那么 $7k\left(k\in \mathbf{Z}\right)$ 天后的那一天是星期几? $7k\left(k\in \mathbf{Z}\right)$ 天前的那一天是星期几?100 天后的那一天是星期几？

3．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：(1) $420^{\circ }$ ; (2) $-75^{\circ }$ ; (3) $855^{\circ }$ ; (4) $-510^{\circ }$ .

4. 在 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1) $-54^{\circ }18^{\prime }$ ; (2) $395^{\circ }{8}^{\prime }$ ; (3) $-190^{\circ }30^{\prime }$ .

5. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 $-720^{\circ }⩽\beta <360^{\circ }$ 的元素 $\beta$ : (1) $1303^{\circ }18^{\prime }$ ; (2) $-225^{\circ }$ .