5.1.1任意角

5.1.1任意角

现实生活中随处可见超出 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围的角．例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，图5.1-2 是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA绕点O旋转所成的角与 $O^{\prime }B$ 绕点 $O^{\prime }$ 旋转所成的角就会有不同的方向．因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广.

我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.

图5.1-2

为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α”可以简记成“α”.

如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边重合．如果α是零角，那么 $\alpha =0^{\circ }$ ，图 5.1-3(1)中的角是一个正角，它等于 $750^{\circ }$ ；图5.1-3(2)中，正角$\alpha =210^{\circ }$ ，负角 $\beta =-150^{\circ }$ ， $\gamma =-660^{\circ }$ ，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角.

(1)

(2) 图5.1-3

这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA 绕端点O旋转而成，角 $\beta$ 由射线 $O^{\prime }{A}^{\prime }$ 绕端点 $O^{\prime }$ 旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 $\alpha =\beta .$

设 $\alpha$ ， $\beta$ 是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角 $\beta$ ，这时终边所对应的角是 $\alpha +\beta .$

类似于实数α的相反数是-a，我们引入任意角α的相反角的概念．如图5.1-4，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为-α．于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有

$$\alpha -\beta =\alpha +(-\beta ).$$

这样，角的减法可以转化为角的加法.

(1)

(2) 图5.1-4

图5.1-5

我们通常在直角坐标系内讨论角．为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．例如，图5.1-5中的 $30^{\circ }$ 角、 $-120^{\circ }$ 角分别是第一象限角和第三象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.

你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？