5．检验模型

5．检验模型

将已知数据代入①式，或画出函数①的图象（图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律.

图2

6.求解问题

将 $y=60$ 代入 $y=60\times 0.9227^x+25$ ，得

$$60\times 0.9227^x+25=60.$$

解得

$$x={\log }_{0.9227}\frac{7}{12}.$$

由信息技术得

$$x\approx \mathrm{6.6997.}$$

所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min.

上述过程可以概括为：

二、数学建模活动的选题

请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动．可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：

1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

2．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.

3．用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.

4．估计阅读一本书所需要的时间.

也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究.

三、数学建模活动的要求

1．组建合作团队

数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3～5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告.

2．开展研究活动

根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题.

3．撰写研究报告

以小组为单位，撰写一份研究报告.

4.交流展示

（1）对同一个课题，先由3～4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短．在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告．选定代表，制作向全班汇报的演示文稿.

（2）与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足．开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动.

四、数学建模活动研究报告的参考形式

建立函数模型解决实际问题

年 班

完成时间：

1.课题名称
2.课题组成员及分工
3.选题的意义
4．研究计划 (包括对选题的分析，解决问题的思路等)
5.研究过程（收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等）
6．研究结果
7．收获与体会
8．对此研究的评价（由评价小组或老师填写)

第五章

三角函数

现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等．这些现象都可以用三角函数刻画.

前面我们学习了函数的一般概念，并研究了指数函数、对数函数等，知道了函数的研究内容、过程和方法，以及如何用某类函数刻画相应现实问题的变化规律．本章我们将利用这些经验，学习刻画周期性变化规律的三角函数.

三角函数是怎样的函数？它具有哪些特性？如何利用三角函数模型刻画各种周期性变化现象？本章我们就来研究这些问题.

5.1 任意角和弧度制

圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图5.1-1,⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？

我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图5.1-1中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置 $OP$ ，形成一个角α,射线OA，OP分别是角α的始边和终边．当角α确定时，终边OP的位置就确定了．这时，射线 $OP$ 与⊙O的交点P也就确定了．由此想到，可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化.

图5.1-1

由初中知识可知，射线OA 绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到 $0^{\circ }\sim 360^{\circ }$ 范围内的角．如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围.