正在学习

二、回顾与思考

本章我们先将指数概念由整数指数逐步拓展到了实数指数，并给出了实数指数幂的运算法则；通过对指数增长方式的实例分析，引入指数函数的概念，并研究了它的图象和性质，从对数与指数的相互联系出发，引入对数的概念，研究了对数的运算法则；在此基础上研究了对数函数的概念、图象和性质．指数函数和对数函数是两种不同类型但联系紧密的函数模型，是刻画客观世界中“指数爆炸”“对数增长”现象的重要数学模型．利用函数零点与方程解之间的关系，我们引入了函数零点存在定理，探索了用二分法求方程近似解的思路.二分法是求方程近似解的一般性方法，不同类型的函数具有不同的增长方式，通过比较，我们认识了对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，并通过具体实例，学习了如何根据增长速度的差异，选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题变化规律的方法.

本章中，先从整数指数拓展到有理数指数，再利用有理数指数幂逼近无理数指数幂的思想认识无理数指数幂，从而将指数的概念拓展到实数指数；通过问题“在 $a^{x} = N$ （a>0，且a≠1）中，已知a，N求 $x$ ”引入，按照“定义—表示—性质—运算（法则）—应用”的路径研究对数，这里要注意体会数学概念推广的基本思想，整体而言，对指数函数、对数函数的研究，都是按照“实际问题—函数概念—图象与性质—应用”的路径展开，这里要特别注意在对现实问题增长方式分析的基础上引入相应的函数概念，再通过对函数图象、性质的研究，把握相应函数的本质，这是建立函数模型解决实际问题的基础.

在应用函数解决实际问题时，首先应注意分析实际问题属于哪种类型的增长方式，这是选择和建立函数模型的基础；其次，要注意理解用函数构建数学模型的基本过程，体会运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的数学方法.

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！

1．指数和对数的概念都有现实背景，你能举出一些实际例子吗？

2．概述指数概念的拓展过程，你能由此说说数学概念拓展的过程与方法吗？

3．对数概念是如何提出来的？它对发现和提出问题有什么启示？

4．回忆指数函数、对数函数的研究过程，你能由此说说如何研究一类函数吗？例如研究的内容、过程和方法.

5．不同函数模型刻画了现实世界不同类型问题的变化规律，你能说说指数函数和对数函数分别刻画了怎样的变化规律吗？你能举出“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的实际例子吗？

6．你能举例说明函数的零点与方程解的关系吗？在什么条件下，函数在(a，b)内一定有零点？

7．你能说说用二分法求方程近似解的一般步骤吗？

8．你能结合实例说明应用函数模型解决问题的基本过程吗？

9．函数图象是研究函数性质的重要载体，信息技术是研究函数图象与性质的有力工具，你能结合实例谈谈这方面的体会吗？

复习参考题4

复习巩固

1．选择题

（1）函数 $y = 2^{- x}$ 与 $y = 2^{x}$ 的图象（）.

(A）关于x轴对称 (B）关于y轴对称

(C）关于原点对称 (D）关于直线y=x 对称

（2）如图（1)，①②③④中不属于函数 $y = 2^{x}, y = 6^{x}, y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的一个是（）。(A）① (B) ② (C) ③ (D）④

（3）如图（2)，①②③④中不属于函数 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x, y = lo g_{\frac{1}{3}} x, y = lo g_{2} x$ 的一个是（）.(A）① (B)② (C) ③ (D）④

(1)

(2)

(第1题)

2.用“<”“>”“=”填空:

(1) $e^{0.8}_0. 8^{e}$ (2) $2^{a + 1}_3^{a} (a > 2)$

(3) $a^{0.2}_a^{0.3} (0 < a < 1)$ (4) $l g e_ln 0.8$

(5) $lo g_{2} 3_lo g_{3} 2$ (6) $lo g_{a} 0.2_lo g_{a} 0.3 (a > 1)$

3．借助信息技术，用二分法求：

(1) 方程 $2 x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的最大的根（精确度为0.01）；

(2) 函数 $f (x) = l g x$ 和 $g (x) = \frac{1}{x}$ 交点的横坐标（精确度为0.1）。

4．已知函数 $f (x) = {x^{2} + 2 x - 3, - 2 + ln x, x \leq 0 x > 0$ ，求使方程 $f (x) = k$ 的实数解个数分别为1，2，3时 $k$ 的相应取值范围。

练习题

函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2^{- x}$ 的图象之间的关系是（）。

A. 关于

x

轴对称

B. 关于

y

轴对称

C. 关于原点对称

D. 关于直线

y = x

对称

关于指数与对数的联系，下列说法正确的是（）。

A. 若

a^{x} = N

，其中

a > 0

且

a \neq = 1

、

N > 0

，则

x = lo g_{a} N

B. 若

a^{x} = N

，其中

a > 0

且

a \neq = 1

、

N > 0

，则

N = lo g_{a} x

lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M \cdot lo g_{a} N

D. 函数

y = lo g_{a} x

的定义域是

R

在根据实际问题选择函数模型时，下列说法正确的有（）。

A. 若某种数量在相等时间间隔内按固定倍数增长，可优先考虑指数函数模型

B. 若某种数量增长越来越慢，且自变量取正值，可考虑对数函数模型

C. 若某种数量在相等时间间隔内增加固定数值，可考虑线性函数模型

D. 建模前应先分析实际问题的增长方式，再选择合适函数类型

E. 指数函数、线性函数、对数函数的长期增长速度通常没有差异

F. 只要给出两个数据点，就一定能唯一确定最符合实际的函数模型

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a) f (b) < 0$ ，则方程 $f (x) = 0$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个实数解。

用二分法求方程 $f (x) = 0$ 的近似解时，只要任选一个区间 $[a, b]$ ，无论 $f (x)$ 是否连续，也无论 $f (a)$ 与 $f (b)$ 是否异号，都一定能逐步得到一个根的近似值。

本章中，指数概念的拓展路径可概括为：整数指数 $\to$ 有理数指数 $\to$ 无理数指数 $\to$ ___。

简要说明研究指数函数、对数函数这类函数的一般路径，并指出函数图象在其中的作用。

已知 $f (x) = {x^{2} + 2 x - 3, - 2 + ln x, x \leq 0, x > 0.$ 求方程 $f (x) = k$ 的实数解个数分别为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 时， $k$ 的取值范围。

某池塘浮萍面积满足指数模型 $y = a^{t}$ ，且浮萍面积达到 $2 m^{2}$ 、 $3 m^{2}$ 、 $6 m^{2}$ 所需时间分别为 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ 。下列说法正确的是（）。

A. 因为

6 = 2 + 3 + 1

，所以

t_{3} = t_{1} + t_{2} + 1

B. 因为指数函数中乘法对应指数相加，所以

t_{3} = t_{1} + t_{2}

C. 因为指数函数增长越来越快，所以

t_{3} < t_{1} + t_{2}

D. 因为

y = a^{t}

是线性模型，所以

t_{3} = 2 t_{1} + 3 t_{2}

关于用函数模型描述实际变化规律，下列说法正确的有（）。

A. 若数据呈现固定倍数增长的趋势，通常可考虑指数函数模型，如

y = a b^{x}

B. 若变化趋势接近“直线上升”，可优先考虑线性模型，如

y = k x + b

C. 建立函数模型前，应先分析实际问题属于哪种增长方式

D. 对数函数、线性函数、指数函数的增长速度没有本质差异，可以任意选择模型

E. 建模后还应将模型预测结果与实际数据比较，判断模型是否合理

若连续函数 $f (x)$ 满足 $f (a) f (b) < 0$ ，则方程 $f (x) = 0$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个实数解；但若 $f (a) f (b) > 0$ ，就一定没有实数解。

某药物注射后血液中的含量按每小时固定比例衰减。若要估计药量降到某一疗效临界值的时间，应选择什么函数模型？为什么这种模型与对数概念有关？

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