正在学习

综合运用

7.设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a > 0, b, c \in R)$ ，且 $f (1) = - \frac{a}{2}$ ，求证：函数 $f (x)$ 在（0，2)内至少有一个零点.

8.已知函数 $f (x) = - x^{2} - 3 x - 2, g (x) = 2 - [f (x)]^{2}$

（1）求函数 $y = g (x)$ 的解析式；

（2）利用信息技术，画出函数 $y = g (x)$ 的图象；

（3）求函数 $y = g (x)$ 的零点(精确度为0.1).

9.如图，某池塘里浮萍的面积 $y$ (单位： $m^{2}$ ) 与时间t（单位：月)的关系为 $y = a^{t}$ .关于下列说法：

① 浮萍每月的增长率为1;

② 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m²；

③ 浮萍每月增加的面积都相等;

(第9题)

④若浮萍蔓延到 $2 m^{2}, 3 m^{2}, 6 m^{2}$ 所经过的时间分别是 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$

其中正确的说法是（）.

(A) ①② (B) ①②③ (C) ①②④ (D) ①②③④

10．一种药在病人血液中的量保持在1500 mg以上时才有疗效．现给某病人的静脉注射了这种药2500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保证有疗效，最迟应在什么时候再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h)？

11．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024 TB)，EB（1EB=1024 PB）乃至 ZB（1ZB=1024EB）级别．曾经的研究结果表明，2008 年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009 年的数据量为0.8 ZB，2010 年增长到1.2 ZB，2011年的数据量更是高达1.82 ZB.

（1）为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x(单位：年)的关系，根据上述数据信息，从函数 $f (x) = k x + b$ 和 $g (x) = a b^{x}$ 中选择一个，并求出解析式.

（2）根据（1）中所求函数模型，估计2018年全球所产生的数据量，并与所公布数据比较，你有何看法？

12.某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高/cm	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170
平均体重/kg	6.13	7.90	9.99	12.15	15.02	17.50	20.92	26.86	31.11	38.85	47.25	55.05

（1）根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)的函数关系，并写出这个函数的解析式.

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？

拓广探索

13．有一道题“若函数 $f (x) = 24 a x^{2} + 4 x - 1$ 在区间(-1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答：由 $f (- 1) f (1) = (24 a - 5) (24 a + 3) < 0$ ，解得 $- \frac{1}{8} < a < \frac{5}{24} .$ 所以，实数a的取值范围是 $(- \frac{1}{8}, \frac{5}{24})$ 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.

14．从甲地到乙地的距离约为 240 km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度（单位：km/h）（0≤u≤120）的下列数据：

u	0	40	60	80	120
Q	0.000	6.667	8.125	10.000	20.000

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：

$Q = a v^{3} + b v^{2} + c v, Q = 0. 5^{v} + a, Q = k lo g_{a} v + b .$

（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；

（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少?

文献阅读与数学写作

对数概念的形成与发展

对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立被恩格斯并称为17世纪数学的三大成就．对数的发明及其计算是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情来迎接这一发明．意大利科学家伽利略（Galileo Galilei，1564—1642)说：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙.”法国数学家拉普拉斯（P. S. Laplace，1749—1827）也曾评价道：“因为省时省力，对数倍增了天文学家的寿命.”

作为重要而简便的计算工具，对数是如何产生和发展的？在数学的发展、人类社会的发展历史中起了什么作用？请你按以下要求，查阅与对数有关的文献，自己选题，写一篇数学小论文.

一、主题

1．对数概念形成和发展的过程.

2．对数对简化运算的作用.

二、实施建议

1.选题：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围.

2.分组：将相近选题的5～6人分为一个小组，确定一名组长.

3.分配任务：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务.

4．搜集资料：针对具体的论文题目，通过互联网、书店、图书馆等多种途径搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料.

5．素材整理：用论文的形式展现小组的实践成果.

6.交流讨论：开展组内或全班的交流、讨论和总结.

三、参考选题

1．对数产生的背景.

2．对数发明的过程.

3．对数的具体应用.

4．对数对简化运算的作用.

5．对数对人类文明进步的贡献.

小结

一、本章知识结构

练习题

已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，其中 $a > 0$ ，且 $f (1) = - \frac{a}{2}$ 。为了证明 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 内至少有一个零点，最合适的关键计算是（）。

A. 计算

f (0) f (2) = (c) (4 a + 2 b + c) = c^{2} + 4 a c + 2 b c

，判断其一定小于

0

B. 计算

f (0) + f (2) = 2 a + 2 f (1) = - a < 0

，所以

f (0)

与

f (2)

至少有一个为负数，再结合

a > 0

说明二次函数图象开口向上，从而在

(0, 2)

内有零点

C. 计算

f (0) + f (2) = 2 a + 2 f (1) = a > 0

，所以

f (0)

与

f (2)

都为正数

D. 由

f (1) < 0

可直接推出

f (0) f (2) < 0

已知 $f (x) = - x^{2} - 3 x - 2$ ， $g (x) = 2 - [f (x)]^{2}$ 。下列关于 $g (x)$ 的说法正确的是（）。

g (x) = 2 - (x^{2} + 3 x + 2)^{2}

，其零点满足

(x + 1) (x + 2) = \pm 2

g (x) = 2 + (x^{2} + 3 x + 2)^{2}

，所以没有零点

g (x) = 2 - (x^{2} + 3 x + 2)

，所以零点为

0

和

- 3

g (x) = [2 - (- x^{2} - 3 x - 2)]^{2}

，所以零点满足

x^{2} + 3 x + 4 = 0

某药物注射后血液中的药量为 $2500$ mg，每小时按 $20%$ 的比例衰减。若药量低于 $1500$ mg 就失去疗效，则最迟补药时间 $t$ 满足的方程是（）。

2500 (1 - 20%)^{t} = 1500

2500 (1 + 20%)^{t} = 1500

2500 - 20 t = 1500

1500 (1 - 20%)^{t} = 2500

关于指数函数模型 $y = a^{t}$ 描述浮萍面积增长，下列说法正确的有（）。

A. 若

a > 1

，则浮萍面积随时间

t

增大而增大

B. 若浮萍面积从

2 m^{2}

、

3 m^{2}

到

6 m^{2}

所需时间分别为

t_{1}, t_{2}, t_{3}

，且

y = a^{t}

，则

t_{1} + t_{2} = t_{3}

C. 指数增长模型中，相同时间间隔内增加的面积一定相等

D. 若每月增长率为

100%

，则模型可写为

y = 2^{t}

E. 指数函数模型适合描述按固定比例增长的现象

关于实际问题中的函数建模、预测和资料整理，下列做法合理的有（）。

A. 数据量从

0.49 ZB

、

0.8 ZB

、

1.2 ZB

到

1.82 ZB

呈加速增长趋势时，指数模型通常比线性模型更值得优先考虑

B. 用模型预测

2018

年全球数据量后，应与公布数据比较，并分析模型误差和适用范围

1 ZB = 1024 EB = 102 4^{2} PB = 102 4^{3} TB

D. 建立身高与体重的函数关系时，只要任选两个数据点作直线，就一定能准确反映全部数据规律

E. 撰写关于对数发展的数学小论文时，可以通过互联网、图书馆、书店等途径搜集文字、图片、数据等资料

若函数 $f (x) = 24 a x^{2} + 4 x - 1$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内恰有一个零点，则只需满足 $f (- 1) f (1) < 0$ ，因此 $a$ 的取值范围一定是 $(- \frac{1}{8}, \frac{5}{24})$ 。

研究汽车从甲地到乙地总耗油量时，若每小时耗油量为 $Q (v)$ ，路程为 $240 km$ ，速度为 $v$ ，则总耗油量可表示为 $\frac{240}{v} Q (v)$ ，因此仅使 $Q (v)$ 最小不一定能使总耗油量最小。

若某学生身高为 $175 cm$ ，用函数模型估计同身高男性平均体重为 $60 kg$ ，则偏胖的判断临界值是平均值的 $1.2$ 倍，即 $___\ \mathrm{kg}$ 。

恩格斯把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立并称为 $17$ 世纪数学的三大成就；拉普拉斯评价对数“因为省时省力，倍增了天文学家的寿命”，这体现了对数作为一种 $___$ 的重要作用。

请简要说明用函数模型解决实际问题的一般过程，并以“全球数据量增长”或“药物浓度衰减”为例说明为什么要选择合适的函数类型。

设二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，其中 $a > 0$ ，且 $f (1) = - \frac{a}{2}$ 。若要证明 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 内至少有一个零点，结合连续函数零点存在性，下面哪一步推理最关键？

A. 由

f (1) < 0

且

f (0) + f (2) = a > 0

，可知

f (0)

与

f (2)

中至少有一个为正数，从而在

(0, 1)

或

(1, 2)

内存在零点

B. 由

a > 0

可知

f (x)

在

(0, 2)

上一定单调递增，所以存在零点

C. 由

f (1) < 0

可知

f (0) > 0

且

f (2) > 0

，所以存在两个零点

D. 由

f (1) = - \frac{a}{2}

可知

f (1) = 0

，所以

x = 1

是零点

已知 $f (x) = - x^{2} - 3 x - 2$ ， $g (x) = 2 - [f (x)]^{2}$ 。结合由函数复合求解析式、函数零点和二分法适用条件，下面说法正确的有哪几项？

g (x)

是连续函数，因此若在某区间两端函数值异号，可用零点存在性判断该区间内有零点

g (x) = 0

的所有解都必须满足

f (x) = 2

C. 因为

g (- 3) < 0

且

g (- 2) > 0

，所以

g (x)

在

(- 3, - 2)

内至少有一个零点

D. 因为

g (- 1) > 0

且

g (0) < 0

，所以

g (x)

在

(- 1, 0)

内至少有一个零点

E. 因为

g (- 2) = g (- 1) = 2

，所以

g (x)

在

(- 2, - 1)

内一定有零点

若浮萍面积与时间的关系为 $y = a^{t}$ ，且浮萍面积达到 $2 m^{2}$ 、 $3 m^{2}$ 、 $6 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ 、 $t_{2}$ 、 $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$ ；这一结论体现了指数模型适合描述“倍数增长”关系。

某药物初始注射量为 $2500 mg$ ，每小时按 $20%$ 的比例衰减，药量保持在 $1500 mg$ 以上才有效。建立模型 $M (t) = 2500 \cdot 0. 8^{t}$ ，并解方程 $2500 \cdot 0. 8^{t} = 1500$ ，可得最迟约在 ___ 后补充药物。

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对数概念的形成与发展

一、主题

二、实施建议

三、参考选题

小结

一、本章知识结构

练习题

已知 f(x)=ax2+bx+c，其中 a>0，且 f(1)=−2a​。为了证明 f(x) 在区间 (0,2) 内至少有一个零点，最合适的关键计算是（ ）。

已知 f(x)=−x2−3x−2，g(x)=2−[f(x)]2。下列关于 g(x) 的说法正确的是（ ）。

某药物注射后血液中的药量为 2500 mg，每小时按 20% 的比例衰减。若药量低于 1500 mg 就失去疗效，则最迟补药时间 t 满足的方程是（ ）。

关于指数函数模型 y=at 描述浮萍面积增长，下列说法正确的有（ ）。

关于实际问题中的函数建模、预测和资料整理，下列做法合理的有（ ）。

若函数 f(x)=24ax2+4x−1 在区间 (−1,1) 内恰有一个零点，则只需满足 f(−1)f(1)<0，因此 a 的取值范围一定是 (−81​,245​)。

研究汽车从甲地到乙地总耗油量时，若每小时耗油量为 Q(v)，路程为 240 km，速度为 v，则总耗油量可表示为 v240​Q(v)，因此仅使 Q(v) 最小不一定能使总耗油量最小。

若某学生身高为 175 cm，用函数模型估计同身高男性平均体重为 60 kg，则偏胖的判断临界值是平均值的 1.2 倍，即 ___\ \mathrm{kg}。

恩格斯把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立并称为 17 世纪数学的三大成就；拉普拉斯评价对数“因为省时省力，倍增了天文学家的寿命”，这体现了对数作为一种 ___ 的重要作用。

请简要说明用函数模型解决实际问题的一般过程，并以“全球数据量增长”或“药物浓度衰减”为例说明为什么要选择合适的函数类型。

设二次函数 f(x)=ax2+bx+c，其中 a>0，且 f(1)=−2a​。若要证明 f(x) 在区间 (0,2) 内至少有一个零点，结合连续函数零点存在性，下面哪一步推理最关键？

已知 f(x)=−x2−3x−2，g(x)=2−[f(x)]2。结合由函数复合求解析式、函数零点和二分法适用条件，下面说法正确的有哪几项？

若浮萍面积与时间的关系为 y=at，且浮萍面积达到 2m2、3m2、6m2 所经过的时间分别为 t1​、t2​、t3​，则 t1​+t2​=t3​；这一结论体现了指数模型适合描述“倍数增长”关系。

某药物初始注射量为 2500mg，每小时按 20% 的比例衰减，药量保持在 1500mg 以上才有效。建立模型 M(t)=2500⋅0.8t，并解方程 2500⋅0.8t=1500，可得最迟约在 ___ 后补充药物。

已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，其中 $a > 0$ ，且 $f (1) = - \frac{a}{2}$ 。为了证明 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 内至少有一个零点，最合适的关键计算是（）。

已知 $f (x) = - x^{2} - 3 x - 2$ ， $g (x) = 2 - [f (x)]^{2}$ 。下列关于 $g (x)$ 的说法正确的是（）。

某药物注射后血液中的药量为 $2500$ mg，每小时按 $20%$ 的比例衰减。若药量低于 $1500$ mg 就失去疗效，则最迟补药时间 $t$ 满足的方程是（）。

关于指数函数模型 $y = a^{t}$ 描述浮萍面积增长，下列说法正确的有（）。

关于实际问题中的函数建模、预测和资料整理，下列做法合理的有（）。

若函数 $f (x) = 24 a x^{2} + 4 x - 1$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内恰有一个零点，则只需满足 $f (- 1) f (1) < 0$ ，因此 $a$ 的取值范围一定是 $(- \frac{1}{8}, \frac{5}{24})$ 。

研究汽车从甲地到乙地总耗油量时，若每小时耗油量为 $Q (v)$ ，路程为 $240 km$ ，速度为 $v$ ，则总耗油量可表示为 $\frac{240}{v} Q (v)$ ，因此仅使 $Q (v)$ 最小不一定能使总耗油量最小。

若某学生身高为 $175 cm$ ，用函数模型估计同身高男性平均体重为 $60 kg$ ，则偏胖的判断临界值是平均值的 $1.2$ 倍，即 $___\ \mathrm{kg}$ 。

恩格斯把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立并称为 $17$ 世纪数学的三大成就；拉普拉斯评价对数“因为省时省力，倍增了天文学家的寿命”，这体现了对数作为一种 $___$ 的重要作用。

设二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，其中 $a > 0$ ，且 $f (1) = - \frac{a}{2}$ 。若要证明 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 内至少有一个零点，结合连续函数零点存在性，下面哪一步推理最关键？

已知 $f (x) = - x^{2} - 3 x - 2$ ， $g (x) = 2 - [f (x)]^{2}$ 。结合由函数复合求解析式、函数零点和二分法适用条件，下面说法正确的有哪几项？

若浮萍面积与时间的关系为 $y = a^{t}$ ，且浮萍面积达到 $2 m^{2}$ 、 $3 m^{2}$ 、 $6 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ 、 $t_{2}$ 、 $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} = t_{3}$ ；这一结论体现了指数模型适合描述“倍数增长”关系。

某药物初始注射量为 $2500 mg$ ，每小时按 $20%$ 的比例衰减，药量保持在 $1500 mg$ 以上才有效。建立模型 $M (t) = 2500 \cdot 0. 8^{t}$ ，并解方程 $2500 \cdot 0. 8^{t} = 1500$ ，可得最迟约在 ___ 后补充药物。