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归纳

用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：

这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.

练习

1.某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 $y = a x^{2} + b x + c$ ，乙选择了模型 $y = p q^{x} + r$ ，其中 $y$ 为患病人数， $x$ 为月份数， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $p$ ， $q$ ， $r$ 都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际?

2．由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加．2008～2018年的11年，上市的肉鸡数量如下：

时间/年	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
肉鸡数量/吨	7690	7850	8000	8150	8310	8460	8620	8770	8920	9080	9230

同期该地的人口数如下：

时间/年	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
人口数/万	100.0	101.2	102.4	103.6	104.9	106.1	107.4	108.7	110.0	111.3	112.7

（1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;

（2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018 年是否能满足市场的需求?

（3）按上述两表的变化趋势，你对该地 2018年后肉鸡市场的发展有何建议?

习题4.5

复习巩固

1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是．（填写上所有符合条件的图号)

①

②

③

④

2.已知函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：

x	1	2	3	4	5	6
y	136.136	15.552	-3.92	10.88	-52.488	-232.064

函数 $y = f (x)$ 在哪几个区间内一定有零点？为什么？

3.已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x + 1$ ，求证：方程 $f (x) = x$ 在(-1，2)内至少有两个实数解.

4．利用信息技术，用二分法求函数 $f (x) = ln x - \frac{2}{x}$ 的零点(精确度为0.1).

5．利用信息技术，用二分法求方程 $0. 8^{x} - 1 = ln x$ 的近似解(精确度为0.1).

6．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内存 $(1 MB = 1024 KB)$ ?

练习题

用函数建立数学模型解决实际问题时，下列步骤排序最合理的是哪一项？

A. 求解函数模型

\to

分析增长情况

\to

选择函数类型

\to

解释实际问题

B. 分析实际问题和增长情况

\to

选择函数类型建立模型

\to

运算推理求解

\to

用模型解释并解决问题

C. 选择任意函数模型

\to

收集数据

\to

得出结论

\to

再判断增长类型

D. 先用信息技术画图

\to

不必建立模型

\to

直接给出实际建议

\to

验证结论

下列说法中，符合函数建模思想的有哪几项？

A. 若数据大致每期增加相同的数量，可优先考虑一次函数模型

B. 若数据大致每期按相同倍数增长，可优先考虑指数函数模型

C. 建立模型后，只要能通过前两个数据点，就一定最符合实际

D. 信息技术可以辅助画图、计算和比较不同函数模型的拟合效果

E. 用模型解决实际问题时，还应结合实际背景解释结果

在传染病人数预测中，如果甲的模型 $y = a x^{2} + b x + c$ 和乙的模型 $y = p q^{x} + r$ 都能完全通过前 $3$ 个月的数据，则只根据这 $3$ 个数据点无法断定哪一个模型对以后月份一定更准确。

若某种病毒开机时占据内存 $2 KB$ ，每 $3$ 分钟复制一次，复制后占用内存变为原来的 $2$ 倍，则复制 $n$ 次后占用内存可表示为 $2 \cdot 2^{n} KB$ ，这是一个 ___ 增长模型。

某地肉鸡产量从 $2008$ 年的 $7690$ 吨增加到 $2018$ 年的 $9230$ 吨，平均每年大约增加 $154$ 吨；人口从 $100.0$ 万增加到 $112.7$ 万，平均每年大约增加 $1.27$ 万。若只根据这种趋势作近似建模，较合适的模型类型是哪个？

A. 两组数据都近似用一次函数模型

B. 两组数据都必须用指数函数模型

C. 肉鸡产量用常数函数模型，人口用对数函数模型

D. 肉鸡产量用二次函数模型，人口用反比例函数模型

某地 $2017$ 年肉鸡产量基本满足本地需求。若 $2018$ 年肉鸡产量增长率低于人口增长率，从函数趋势角度看，应怎样判断 $2018$ 年是否能满足市场需求？

若连续函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上满足 $f (a) f (b) < 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点，因此可以考虑用二分法求该零点的近似值。

已知连续函数 $y = f (x)$ 的部分函数值如下： $f (1) = 136.136$ ， $f (2) = 15.552$ ， $f (3) = - 3.92$ ， $f (4) = 10.88$ ， $f (5) = - 52.488$ ， $f (6) = - 232.064$ 。根据符号变化，在哪些相邻区间内一定有零点？

(1, 2)

，

(2, 3)

，

(5, 6)

(2, 3)

，

(3, 4)

，

(4, 5)

(1, 3)

，

(3, 5)

，

(5, 6)

(1, 2)

，

(3, 4)

，

(4, 6)

要证明方程 $x^{3} - 2 x + 1 = x$ 在 $(- 1, 2)$ 内至少有两个实数解，可令 $g (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，再分别寻找两个端点函数值异号的小区间，并利用连续函数的 ___ 定理。

说明如何用二分法求方程 $0. 8^{x} - 1 = ln x$ 的近似解，并指出信息技术在这一过程中的作用。

某地某产品年产量数据近似每年增加同一个固定数量。根据函数建模的基本过程和已学过的增长模型比较，最适合优先尝试的模型是哪一个？

A. 常数函数模型，因为产量一直保持不变

B. 一次函数模型，因为数据表现为近似“直线上升”

C. 指数函数模型，因为所有递增数据都属于“指数爆炸”

D. 对数函数模型，因为对数函数一定比一次函数更符合实际

在用函数模型分析某地肉鸡产量和人口需求变化时，哪些做法符合本节函数建模过程，并且也体现了已学过的利用图象和增长比较选择模型的思想？

A. 先观察两组数据的变化趋势，判断是近似直线上升、对数增长还是指数增长

B. 根据数据增长情况选择合适的函数类型来近似反映变化规律

C. 只要某个模型在前两年数据上完全吻合，就不需要再考虑后续年份数据

D. 可以借助信息技术画图、列表或运算，比较模型与实际数据的吻合程度

E. 利用得到的函数模型判断未来供给是否能满足需求，并提出发展建议

若某传染病人数前三个月增长较慢，但后续数据呈现每期按固定倍数增加的趋势，则在建模时应只考虑二次函数模型 $y = a x^{2} + b x + c$ ，因为二次函数一定比指数函数 $y = p q^{x} + r$ 更适合描述传染病人数。

某计算机病毒开机时占据内存 $2 KB$ ，每 $3$ 分钟复制一次，复制后所占内存变为原来的 $2$ 倍。请说明应选用什么函数模型，并写出开机后 $t$ 分钟内存占用量的表达式。

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练习

习题4.5

复习巩固

练习题

用函数建立数学模型解决实际问题时，下列步骤排序最合理的是哪一项？

下列说法中，符合函数建模思想的有哪几项？

在传染病人数预测中，如果甲的模型 y=ax2+bx+c 和乙的模型 y=pqx+r 都能完全通过前 3 个月的数据，则只根据这 3 个数据点无法断定哪一个模型对以后月份一定更准确。

若某种病毒开机时占据内存 2 KB，每 3 分钟复制一次，复制后占用内存变为原来的 2 倍，则复制 n 次后占用内存可表示为 2⋅2n KB，这是一个 ___ 增长模型。

某地肉鸡产量从 2008 年的 7690 吨增加到 2018 年的 9230 吨，平均每年大约增加 154 吨；人口从 100.0 万增加到 112.7 万，平均每年大约增加 1.27 万。若只根据这种趋势作近似建模，较合适的模型类型是哪个？

某地 2017 年肉鸡产量基本满足本地需求。若 2018 年肉鸡产量增长率低于人口增长率，从函数趋势角度看，应怎样判断 2018 年是否能满足市场需求？

若连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上满足 f(a)f(b)<0，则 f(x) 在区间 (a,b) 内至少有一个零点，因此可以考虑用二分法求该零点的近似值。

已知连续函数 y=f(x) 的部分函数值如下：f(1)=136.136，f(2)=15.552，f(3)=−3.92，f(4)=10.88，f(5)=−52.488，f(6)=−232.064。根据符号变化，在哪些相邻区间内一定有零点？

要证明方程 x3−2x+1=x 在 (−1,2) 内至少有两个实数解，可令 g(x)=x3−3x+1，再分别寻找两个端点函数值异号的小区间，并利用连续函数的 ___ 定理。

说明如何用二分法求方程 0.8x−1=lnx 的近似解，并指出信息技术在这一过程中的作用。