函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，用虚线连接离散的点.

函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，用虚线连接离散的点. 由表4.5-5 和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和 25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最

根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5～8天选方案二，投资8天以上选方案三？

多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.

下面再看累计的回报数．通过信息技术列表如下 (表4.5-6).

表4.5-6

因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.

上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.

例6某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002，其中哪个模型能符合公司的要求？

分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.

不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.

解：借助信息技术画出函数 $y=5,y=0.25x,y={\log }_{7}x+1,y=1.002^x$ 的图象（图4.5-8）．观察图象发现，在区间 $[10,1000]$ 上，模型 $y=0.25x,y=1.002^x$ 的图象都有一部分在直线 $y=5$ 的上方，只有模型 $y={\log }_{7}x+1$ 的图象始终在 $y=5$ 的下方，这说明只有按模型 $y={\log }_{7}x+1$ 进行奖励时才符合公司的要求.

图4.5-8

下面通过计算确认上述判断.

先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.

对于模型 $y=0.25x$ ，它在区间 $[10,1000]$ 上单调递增，而且当 $x=20$ 时， $y=5$ 因此，当 $x\ge 20$ 时， $y>5$ ，所以该模型不符合要求；

对于模型 $y=1.002^x$ ，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点 $x_0$ 满足 $1.002^{x_0}=5$ ，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当 $x>x_0$ 时， $y>5$ 所以该模型也不符合要求；

对于模型 $y={\log }_{7}x+1$ ，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当 $x=1000$ 时，$y={\log }_{7}1000+1\approx 4.55<5$ ，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

再计算按模型 $y={\log }_{7}x+1$ 奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当 $x\in [10,1000]$ 时，是否有 $y⩽0.25x$ ，即 ${\log }_{7}x+1⩽0.25x$ 成立.

令 $f(x)={\log }_{7}x+1-0.25x,x\in [10,1000]$ ，利用信息技术画出它的图象(图4.5-9).

图4.5-9

由图象可知函数 $f(x)$ 在区间[10，1000]上单调递减，因此

$$f(x)⩽f(10)\approx -0.3167<0,$$

即

$${\log }_{7}x+1<0.25x.$$

所以，当 $x\in [10,1000]$ 时， $y⩽0.25x$，说明按模型 $y={\log }_{7}x+1$ 奖励，奖金不会超过利润的 25%.

综上所述，模型 $y={\log }_{7}x+1$ 确实能符合公司要求.