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互为反函数的两个函数图象间的关系

我们知道，指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ 与对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq = 1)$ 互为反函数．它们的图象是否有关系？有什么关系呢？下面，请你运用所学的数学知识和计算工具，探索几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！

1．在同一直角坐标系中，画出指数函数 $y = 2^{x}$ 及其反函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？

2.取 $y = 2^{x}$ 图象上的几个点，如 $P_{1} (- 1, \frac{1}{2}), P_{2} (0, 1), P_{3} (1, 2)$ ． $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点的坐标是什么？它们在 $y = lo g_{2} x$ 的图象上吗？为什么？

3.如果点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ 在函数 $y = 2^{x}$ 的图象上，那么 $P_{0}$ 关于直线 $y = x$ 的对称点在函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象上吗？为什么？

4．根据上述探究过程，你可以得到什么结论？

5．上述结论对于指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ 及其反函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq = 1)$ 也成立吗？为什么？

4.4.3不同函数增长的差异

在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.

探究

选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间 $[0, + \infty)$ 上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？

不妨以函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = 2 x$ 为例.

利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-3)，并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-5)．可以看到，函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = 2 x$ 的图象有两个交点(1，2)，（2，4)．在区间[0，1)上，函数 $y = 2^{x}$ 的图象位于 $y = 2 x$ 的图象之上， $2^{x} > 2 x$ ；在区间(1，2)上，函数 $y = 2^{x}$ 的图象位于 $y = 2 x$ 的图象之下， $2^{x} < 2 x$ ；在区间(2，3)上，函数 $y = 2^{x}$ 的图象位于 $y = 2 x$ 的图象之上， $2^{x} > 2 x$ ．这表明，虽然这两个函数在 $[0, + \infty)$ 上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数 $y = 2 x$ 的增长速度保持不变，而函数 $y = 2^{x}$ 的增长速度在变化.

表4.4-3

x	$y = 2^{x}$	$y = 2 x$
0	1	0
0.5	1.414	1
1	2	2
1.5	2.828	3
2	4	4
2.5	5.657	5
3	8	6
...	...	...

图4.4-5

下面在更大的范围内，观察 $y = 2^{x}$ 和 $y = 2 x$ 的增长情况.

从表4.4-4和图4.4-6可以看到，当自变量x越来越大时， $y = 2^{x}$ 的图象就像与x轴垂直一样， $2^{x}$ 的值快速增长；而函数 $y = 2 x$ 的增长速度依然保持不变，与函数 $y = 2^{x}$ 的增长速度相比几乎微不足道.

表4.4-4

x	$y = 2^{x}$	$y = 2 x$
0	1	0
2	4	4
4	16	8
6	64	12
8	256	16
10	1024	20
12	4096	24
...	...	...

图4.4-6

综上所述，虽然函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2 x$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大， $y = 2^{x}$ 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 $y = 2 x$ 的增长速度．尽管在x的一定变化范围内， $2^{x}$ 会小于 $2 x$ ，但由于 $y = 2^{x}$ 的增长最终会快于 $y = 2 x$ 的增长，因此，总会存在一个 $x_{0}$ ，当 $x > x_{0}$ 时，恒有 $2^{x} > 2 x$ .

一般地，指数函数 $y = a^{x} (a > 1)$ 与一次函数 $y = k x$ $(k > 0)$ 的增长差异都与上述情况类似．即使k的值远远大于a的值， $y = a^{x} (a > 1)$ 的增长速度最终都会大大超过 $y = k x$ $(k > 0)$ 的增长速度.

指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长.

探究

选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间 $(0, + \infty)$ 上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？

不妨以函数 $y = l g x$ 和 $y = \frac{1}{10} x$ 为例.

利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-5)，并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-7)．可以看到，虽然它们在 $(0, + \infty)$ 上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．函数 $y = \frac{1}{10} x$ 的增长速度保持不变，而 $y = l g x$ 的增长速度在变化．随着x的增大，函数 $y = \frac{1}{10} x$ 的图象离x轴越来越远，而函数 $y = l g x$ 的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样．例如 $l g 10 = 1$ ， $l g 100 = 2$ ， $l g 1000 = 3$ ， $l g 10000 = 4$ ；而 $\frac{1}{10} \times 10 = 1$ ， $\frac{1}{10} \times 100 = 10$ ， $\frac{1}{10} \times 1000 = 100$ ， $\frac{1}{10} \times 10000 = 1000$ ，这说明，当 $x > 10$ ，即 $y = l g x > 1$ 时， $y = l g x$ 与 $y = \frac{1}{10} x$ 相比增长得就很慢了.

表4.4-5

x	$y = l g x$	$y = \frac{1}{10} x$
0	不存在	0
10	1	1
20	1.301	2
30	1.477	3
40	1.602	4
50	1.699	5
60	1.778	6
...	...	...

图4.4-7

思考

如果将 $l g x$ 放大1000倍，再对函数 $y = 1000 lo g x$ 和 $y = \frac{1}{10} x$ 的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？

一般地，虽然对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 1)$ 与一次函数 $y = k x (k > 0)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数 $y = k x (k > 0)$ 保持固定的增长速度，而对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 1)$ 的增长速度越来越慢．即使k的值很小，在一定范围内， $lo g_{a} x$ 可能会大于kx，但由于 $lo g_{a} x$ 的增长最终会慢于kx的增长，因此总会存在一个 $x_{0}$ ，当 $x > x_{0}$ 时，恒有 $lo g_{a} x < k x$ 。

对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.

探究

类比上述过程，

（1）画出一次函数 $y = 2 x$ ，对数函数 $y = l g x$ 和指数函数 $y = 2^{x}$ 的图象，并比较它们的增长差异；

（2）试着概括一次函数 $y = k x (k > 0)$ ，对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 1)$ 和指数函数 $y = b^{x} (b > 1)$ 的增长差异；

（3）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.

练习题

指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 的反函数是下列哪一个？

y = x^{a}

y = lo g_{a} x

y = a lo g x

y = \frac{1}{a ^{x}}

点 $P (- 1, \frac{1}{2})$ 关于直线 $y = x$ 的对称点坐标是下列哪一个？

(1, - \frac{1}{2})

(\frac{1}{2}, - 1)

(- \frac{1}{2}, 1)

(- 1, 2)

关于函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2 x$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的大小关系，下列说法正确的是哪一个？

A. 在

[0, 1)

上，

2^{x} < 2 x

B. 在

(1, 2)

上，

2^{x} < 2 x

C. 在

(2, 3)

上，

2^{x} < 2 x

D. 在

[0, + \infty)

上，恒有

2^{x} > 2 x

下列关于函数增长差异的说法中，正确的有哪几项？

A. 一次函数

y = k x (k > 0)

的增长速度保持不变

B. 指数函数

y = a^{x} (a > 1)

的增长速度最终会超过一次函数

y = k x (k > 0)

C. 对数函数

y = lo g_{a} x (a > 1)

随

x

增大增长越来越平缓

D. 对数函数

y = lo g_{a} x (a > 1)

最终一定比一次函数

y = k x (k > 0)

增长得快

E. 指数函数常可用“指数爆炸”描述其增长特点

设点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在 $y = 2^{x}$ 的图象上。下列说法正确的有哪几项？

y_{0} = 2^{x_{0}}

B. 点

P

关于直线

y = x

的对称点为

(y_{0}, x_{0})

C. 对称点

(y_{0}, x_{0})

在

y = lo g_{2} x

的图象上

y = 2^{x}

与

y = lo g_{2} x

的图象关于

x

轴对称

y = 2^{x}

与

y = lo g_{2} x

互为反函数

因为在区间 $(1, 2)$ 上有 $2^{x} < 2 x$ ，所以指数函数 $y = 2^{x}$ 的增长速度最终不会超过一次函数 $y = 2 x$ 。

对于任意 $a > 1$ 和 $k > 0$ ，指数函数 $y = a^{x}$ 的增长速度最终都会大大超过一次函数 $y = k x$ 。

对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 1)$ 与一次函数 $y = k x (k > 0)$ 都在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，但对数函数增长越来越平缓，最终慢于一次函数。

互为反函数的两个函数的图象关于直线 ___ 对称。

在描述现实问题时，如果某个量增长越来越快，具有“爆炸性增长”的特点，通常优先考虑用 ___ 函数模型刻画。

简要说明为什么 $y = 2^{x}$ 与 $y = lo g_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称。

概括一次函数 $y = k x (k > 0)$ 、对数函数 $y = lo g_{a} x (a > 1)$ 、指数函数 $y = b^{x} (b > 1)$ 的增长差异，并说明如何据此选择函数模型。

已知点 $P (3, 8)$ 在指数函数 $y = 2^{x}$ 的图象上。关于直线 $y = x$ 的对称点 $P^{'}$ 的坐标以及它所在的函数图象分别是（）。

P^{'} (8, 3)

，在

y = lo g_{2} x

的图象上

P^{'} (8, 3)

，在

y = 2 x

的图象上

P^{'} (3, 8)

，在

y = lo g_{2} x

的图象上

P^{'} (3, 8)

，在

y = 2^{x}

的反函数图象上

下列说法中，正确体现了指数函数、对数函数与一次函数增长差异，并能结合对数函数已有性质的是（）。

A. 在

(0, + \infty)

上，

y = lo g_{a} x (a > 1)

单调递增，但随着

x

增大，增长越来越平缓

B. 在

[0, + \infty)

上，

y = 2^{x}

与

y = 2 x

都单调递增，但

y = 2^{x}

的增长速度最终会超过

y = 2 x

C. 因为

y = lo g_{2} x

的定义域是

(0, + \infty)

，所以它可以与

y = \frac{1}{10} x

在整个

R

上比较增长速度

D. 对数函数

y = lo g_{a} x (a > 1)

适合描述增长速度越来越平缓的变化规律

E. 指数函数

y = a^{x} (a > 1)

呈爆炸性增长，因此最终会大大超过一次函数

y = k x (k > 0)

若 $a > 1$ ，则 $y = a^{x}$ 与 $y = lo g_{a} x$ 互为反函数，它们的图象关于直线 $y = x$ 对称；同时，随着 $x$ 增大， $y = a^{x}$ 相对于一次函数 $y = k x (k > 0)$ 呈爆炸性增长，而 $y = lo g_{a} x$ 相对于一次函数 $y = k x (k > 0)$ 增长越来越慢。

指数函数 $y = 2^{x}$ 与对数函数 $y = lo g_{2} x$ 互为反函数，所以它们的定义域和值域互换，图象关于直线 ___ 对称。

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