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我们可以把 $(1 + 1%)^{365}$ 看作每天的“进步”率都是1%，一年后是 $1.0 1^{365}$ ；而把 $(1 - 1%)^{365}$ 看作每天的“落后”率都是1%，一年后是 $0.9 9^{365}$ 。利用计算工具计算并回答下列问题：

（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？

（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000 倍?

10.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到 $0.81 mg/mL$ ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？

阅读与思考

对数的发明

16、17世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高计算速度和准确度成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550一1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生．在这本书中，纳皮尔借助运动学，用几何术语阐述了对数方法.

如图1，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动， $C Q = x;$ 点P沿线段AB（长度为 $1 0^{7}$ 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离 $(P B = y)$ ．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义𝑥为y的对数.

图1

用现在的数学符号来叙述，纳皮尔的对数中，x与y的对应关系就是

$y = 1 0^{7} (\frac{1}{e})^{\frac{x}{1 0 ^{7}}} .$

其中，e为自然对数的底．利用对数，纳皮尔制作了0°～90°每隔1'的八位三角函数表，但是这种方法不够方便和简捷.

把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯（H.Briggs，1561—1631)．他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对数．由于我们的数系是十进制，因此它在数值计算上具有优越性．1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10 为底包含1～20 000及90000～100000 的14位常用对数表.

根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺．300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器．尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表现在都不再重要了，但是，对数的思想方法，即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，在今天仍然具有生命力.

从对数发明的过程可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，主要是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年由法国数学家笛卡儿开始使用．直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现指数与对数的互逆关系，并在1770年出版的一部著作中，首先使用 $y = a^{x}$ 来定义 $x = lo g_{a} y$ ，他指出，“对数源出于指数”．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻.

从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力，建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担.

4.4 对数函数

在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在对数引入后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究.

4.4.1对数函数的概念

思考

在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间𝑥是碳14的含量y的函数吗？

根据指数与对数的关系，由 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}} (x \geq 0)$ 得到 $x = lo g_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}} y (0 < y ⩽ 1)$ ．如图4.4-1，过y轴正半轴上任意一点 $(0, y_{0}) (0 < y_{0} ⩽ 1)$ 作x轴的平行线，与 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}} (x \geq 0)$ 的图象有且只有一个交点 $(x_{0}, y_{0})$ ．这就说明，对于任意一个 $y \in (0$ ，1]，通过对应关系 $x = lo g_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}} y$ ，在 $[0, + \infty)$ 上

图4.4-1

都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数 $x = lo g_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}} y, y \in$ （0，1］刻画了时间x 随碳14含量y的衰减而变化的规律.

同样地，根据指数与对数的关系，由 $y = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ 可以得到 $x = lo g_{a} y$ $(a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ ，x 也是y的函数．通常，我们用𝑥表示自变量，y表示函数．为此，将 $x = lo g_{a} y (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ 中的字母x和y对调，写成 $y = lo g_{a} x (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ ：

一般地，函数 $y = lo g_{a} x (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$ 叫做对数函数（logarithmic function），其中x 是自变量，定义域是 $(0, + \infty)$

例1求下列函数的定义域：

(1) $y = lo g_{3} x^{2}$

(2) $y = lo g_{a} (4 - x) (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$

解：（1）因为 $x^{2} > 0$ ，即 $x \neq = 0$ ，所以函数 $y = lo g_{3} x^{2}$ 的定义域是

${x ∣ x \neq = 0} .$

（2）因为 $4 - x > 0$ ，即 $x < 4$ ，所以函数 $y = lo g_{a} (4 - x)$ 的定义域是

${x ∣ x < 4} .$

例2假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为w.

（1）该地的物价经过几年后会翻一番?

（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.

物价w	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年数t	0

解：（1）由题意可知，经过t年后物价w为

$w = (1 + 5%)^{t}, 即 w = 1.0 5^{t} (t \in [0, + \infty)) .$

由对数与指数间的关系，可得

$t = lo g_{1.05} w, w \in [1, + \infty) .$

由计算工具可得，当 $w = 2$ 时， $t \approx 14$ .

所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.

（2）根据函数 $t = lo g_{1.05} w, w \in [1, + \infty)$ ，利用计算工具，可得下表：

物价w	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年数t	0	14	23	28	33	37	40	43	45	47

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小.

练习

1.求下列函数的定义域：

(1) $y = ln (1 - x);$ (2) $y = \frac{1}{l g x};$

(3） $y = lo g_{7} \frac{1}{1 - 3 x};$ (4） $y = lo g_{a} ∣ x ∣ (a > 0$ ，且 $a \neq = 1)$

2．画出下列函数的图象： (1) $y = l g 1 0^{x};$ (2) $y = 1 0^{l g x}$

3.已知集合A＝{1，2，3，4，…}，集合 $B = {2, 4, 6, 8, 10, \dots}$ ，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是① $y = 2^{x}$ ②y=x²； ③ $y = lo g_{2} x;$ ④ $y = 2 x .$

4.4.2对数函数的图象和性质

与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质.

不妨先画函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象.

请同学们完成 $x, y$ 的对应值表4.4-1，并用描点法画出函数 $y = lo g_{2} x$ 的图象（图4.4-2）。

表4.4-1

x	y
0.5	-1
1	0
2	1
4
6
8
12
16

图4.4-2

练习题

函数 $y = lo g_{a} (9 - x^{2})$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq = 1$ ）的定义域是下列哪一项？

{x ∣ x \neq = \pm 3}

{x ∣ - 3 < x < 3}

{x ∣ x < 3}

{x ∣ x > 0}

已知碳 $14$ 含量模型为 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}$ （ $x \geq 0$ ），其中 $x$ 表示死亡时间， $y$ 表示剩余碳 $14$ 含量占原来的比例。若已知 $y$ ，则 $x$ 可表示为哪一项？

x = lo g_{\frac{1}{2}} y

，

0 < y \leq 1

x = 5730 lo g_{\frac{1}{2}} y

，

0 < y \leq 1

x = lo g_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}} y

，

0 < y \leq 1

x = (\frac{1}{2})^{5730 y}

，

0 < y \leq 1

某地初始物价为 $1$ ，每年按 $5%$ 的增长率递增，即 $w = 1.0 5^{t}$ 。当物价达到原来的 $3$ 倍时，所需年数 $t$ 应表示为哪一项？

t = 1.0 5^{3}

t = lo g_{3} 1.05

t = lo g_{1.05} 3

t = 3 lo g_{1.05} 1

下列关于对数发明与发展的说法中，正确的有哪几项？

A. 对数的发明与天文、航海、工程、贸易、军事等领域对大数运算的需求有关。

B. 纳皮尔于

1614

年出版《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生。

C. 布里格斯推动形成了以

10

为底的常用对数，使

1

的对数为

0

，

10

的对数为

1

。

D. 常用对数在十进制数值计算中具有一定优势。

E. 欧拉在

1770

年前后明确了指数与对数的互逆关系，并指出“对数源出于指数”。

下列关于对数函数和对数式定义域的说法中，正确的有哪几项？

A. 函数

y = lo g_{a} x

中必须满足

a > 0

，且

a \neq = 1

。

B. 对数函数

y = lo g_{a} x

的定义域是

(0, + \infty)

。

C. 函数

y = lo g_{2} (x - 1)

的定义域是

{x ∣ x > 1}

。

D. 函数

y = lo g_{3} x^{2}

的定义域是

R

。

E. 研究对数函数性质时，可以先画出图象，再借助图象研究性质。

在碳 $14$ 衰减模型 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}$ （ $x \geq 0$ ）中，对于任意 $y \in (0, 1]$ ，都有唯一确定的死亡时间 $x \in [0, + \infty)$ 与之对应。

对数思想的核心作用之一，是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，从而简化计算。

已知 $w = 1.0 5^{t}$ 表示物价随时间的增长情况，当物价达到原来的 $10$ 倍时，所需年数可表示为 $t =_$ 。

某驾驶员停止饮酒后，血液酒精含量从 $0.81 mg/mL$ 开始每小时减少 $30%$ 。若驾驶要求血液酒精含量低于 $0.20 mg/mL$ ，则至少经过 ___ 小时才能驾驶。（结果取整数小时）

为什么在研究指数增长或衰减问题时，引入对数可以从“反向”研究问题？请结合 $w = 1.0 5^{t}$ 或碳 $14$ 衰减模型简要说明。

某量按复利方式每期增长 $5%$ ，初始值为 $1$ ，经过 $t$ 期后为 $w$ 。若要求它达到初始值的 $3$ 倍，则用对数表示所需期数，正确的是哪一项？

t = 1.0 5^{3}

t = lo g_{1.05} 3

t = lo g_{3} 1.05

t = 3 lo g_{1.05} 1

关于函数 $y = lo g_{a} (4 - x)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，下列说法正确的有哪几项？

A. 它的定义域由不等式

4 - x > 0

决定

B. 它的定义域是

{x ∣ x < 4}

C. 若

a = 1

，它仍然是对数函数

D. 真数

4 - x

可以等于

0

E. 底数条件

a > 0

且

a \neq = 1

与对数运算性质的适用条件一致

判断正误：由碳 $14$ 衰减模型 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}$ 可知，当已知碳 $14$ 含量比例 $y$ 且 $0 < y \leq 1$ 时，死亡时间可以表示为 $x = lo g_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}} y$ ，并且每个这样的 $y$ 都对应唯一的 $x \in [0, + \infty)$ 。

若某地区物价满足 $w = 1.0 5^{t}$ ，则由对数与指数的关系可得 $t = lo g_{1.05} w$ ；利用换底公式，也可以写成 $t=\frac{\lg w}{\lg ___}$ 。

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阅读与思考

对数的发明

4.4 对数函数

4.4.1对数函数的概念

思考

练习

4.4.2对数函数的图象和性质

练习题

函数 y=loga​(9−x2)（a>0，且 a=1）的定义域是下列哪一项？

已知碳 14 含量模型为 y=(21​)5730x​（x≥0），其中 x 表示死亡时间，y 表示剩余碳 14 含量占原来的比例。若已知 y，则 x 可表示为哪一项？

某地初始物价为 1，每年按 5% 的增长率递增，即 w=1.05t。当物价达到原来的 3 倍时，所需年数 t 应表示为哪一项？

下列关于对数发明与发展的说法中，正确的有哪几项？

下列关于对数函数和对数式定义域的说法中，正确的有哪几项？

在碳 14 衰减模型 y=(21​)5730x​（x≥0）中，对于任意 y∈(0,1]，都有唯一确定的死亡时间 x∈[0,+∞) 与之对应。

对数思想的核心作用之一，是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，从而简化计算。

已知 w=1.05t 表示物价随时间的增长情况，当物价达到原来的 10 倍时，所需年数可表示为 t=_。

某驾驶员停止饮酒后，血液酒精含量从 0.81mg/mL 开始每小时减少 30%。若驾驶要求血液酒精含量低于 0.20mg/mL，则至少经过 ___ 小时才能驾驶。（结果取整数小时）

为什么在研究指数增长或衰减问题时，引入对数可以从“反向”研究问题？请结合 w=1.05t 或碳 14 衰减模型简要说明。

某量按复利方式每期增长 5%，初始值为 1，经过 t 期后为 w。若要求它达到初始值的 3 倍，则用对数表示所需期数，正确的是哪一项？

关于函数 y=loga​(4−x)，其中 a>0 且 a=1，下列说法正确的有哪几项？

判断正误：由碳 14 衰减模型 y=(21​)5730x​ 可知，当已知碳 14 含量比例 y 且 0<y≤1 时，死亡时间可以表示为 x=log(21​)57301​​y，并且每个这样的 y 都对应唯一的 x∈[0,+∞)。

若某地区物价满足 w=1.05t，则由对数与指数的关系可得 t=log1.05​w；利用换底公式，也可以写成 t=\frac{\lg w}{\lg ___}。

函数 $y = lo g_{a} (9 - x^{2})$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq = 1$ ）的定义域是下列哪一项？

已知碳 $14$ 含量模型为 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}$ （ $x \geq 0$ ），其中 $x$ 表示死亡时间， $y$ 表示剩余碳 $14$ 含量占原来的比例。若已知 $y$ ，则 $x$ 可表示为哪一项？

某地初始物价为 $1$ ，每年按 $5%$ 的增长率递增，即 $w = 1.0 5^{t}$ 。当物价达到原来的 $3$ 倍时，所需年数 $t$ 应表示为哪一项？

在碳 $14$ 衰减模型 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}$ （ $x \geq 0$ ）中，对于任意 $y \in (0, 1]$ ，都有唯一确定的死亡时间 $x \in [0, + \infty)$ 与之对应。

已知 $w = 1.0 5^{t}$ 表示物价随时间的增长情况，当物价达到原来的 $10$ 倍时，所需年数可表示为 $t =_$ 。

某驾驶员停止饮酒后，血液酒精含量从 $0.81 mg/mL$ 开始每小时减少 $30%$ 。若驾驶要求血液酒精含量低于 $0.20 mg/mL$ ，则至少经过 ___ 小时才能驾驶。（结果取整数小时）

为什么在研究指数增长或衰减问题时，引入对数可以从“反向”研究问题？请结合 $w = 1.0 5^{t}$ 或碳 $14$ 衰减模型简要说明。

某量按复利方式每期增长 $5%$ ，初始值为 $1$ ，经过 $t$ 期后为 $w$ 。若要求它达到初始值的 $3$ 倍，则用对数表示所需期数，正确的是哪一项？

关于函数 $y = lo g_{a} (4 - x)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，下列说法正确的有哪几项？

判断正误：由碳 $14$ 衰减模型 $y = (\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}$ 可知，当已知碳 $14$ 含量比例 $y$ 且 $0 < y \leq 1$ 时，死亡时间可以表示为 $x = lo g_{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}} y$ ，并且每个这样的 $y$ 都对应唯一的 $x \in [0, + \infty)$ 。

若某地区物价满足 $w = 1.0 5^{t}$ ，则由对数与指数的关系可得 $t = lo g_{1.05} w$ ；利用换底公式，也可以写成 $t=\frac{\lg w}{\lg ___}$ 。