练习

练习

1．下列图象中，有可能表示指数函数的是（）.

(A)

(B)

(C）

(D)

2.已知函数 $y=f(x),x\in \mathbf{R}$，且 $f(0)=3,\frac{f(0.5)}{f(0)}=2,\frac{f(1)}{f(0.5)}=2,\cdots ,\frac{f(0.5n)}{f(0.5(n-1))}=2,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ ，求函数y=f(x)的一个解析式.

3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？(可以使用计算工具)

阅读与思考

放射性物质的衰减

本节问题2中的碳14是一种著名的放射性物质，像物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期．那么连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”（放射性物质质量衰减为0所用的时间)?

实际上，在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有质量的 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ 所以，连续两个半衰期并非是一个全衰期.

在问题2中，我们知道碳14的半衰期为5730年，如果 $C_0$ 是碳14 的初始质量，那么经过t年后，碳14所剩的质量 $C(t)=C_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}$

一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量 $Q(t)=Q_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{h}}$ ，其中 $Q_0$ 是该物质的初始质量，你能说明理由吗?

如果某函数呈指数增长，那么称函数值增长为原来两倍所用的时间为“倍增期”．你能通过上网查询，给出一个倍增的指数函数模型实例吗？

4.2.2指数函数的图象和性质

下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数．首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质.

先从简单的函数 $y=2^x$ 开始.

请同学们完成x，y的对应值表4.2-2，并用描点法画出函数 $y=2^x$ 的图象（图4.2-4).

表4.2-2

图4.2-4

为了得到指数函数 $y=a^x(a>0$ ，且 $a\ne 1)$ 的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.

探究

画出函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的图象，并与函数 $y=2^x$ 的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数 $y=2^x$ 的图象，画出函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的图象？

因为 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$ ，点 $(x,y)$ 与点 $(-x,y)$ 关于y轴对称，所以函数 $y=2^x$ 图象上任意一点 $P(x,y)$ 关于y轴的对称点 $P_1(-x,y)$ 都在函数 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数 $y=2^x$ 的图象，画出 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 的图象（图4.2-5).

图4.2-5