探究

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我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试.

从 2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

$$\frac{309}{278}\approx 1.11,$$

$$\frac{344}{309}\approx 1.11,$$

$$\frac{1244}{1118}\approx \mathrm{1.11.}$$

结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11 - 1 = 0.11，是一个常数.

像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.

显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：

1年后，游客人次是 2001年的1.11倍；

做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量.

2 年后，游客人次是 2001年的1.11²倍；

3 年后，游客人次是 2001年的1.11³倍；

x年后，游客人次是2001年的1.11ˣ倍.

如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么

$$y=1.11^x(x\in [0,+\infty )).\text{\hspace{1em}(①)}$$

这是一个函数，其中指数x是自变量.

问题2当生物死亡后，它机体内原有的碳14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率)，大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么

死亡1年后，生物体内碳14含量为 $(1-p{)}^1$；

死亡2年后，生物体内碳14含量为 $(1-p{)}^2$；

死亡3年后，生物体内碳14含量为 $(1-p{)}^3$；

死亡5730年后，生物体内碳14含量为 $(1-p{)}^{5730}$。

根据已知条件， $(1-p{)}^{5730}=\frac{1}{2}$，从而 $1-p=(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{5730}}$，所以 $p=1-(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{5730}}$。

设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么 $y=(1-p{)}^x$ ，即

$$y=\left(\right(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{5730}}{)}^x(x\in [0,+\infty )).\text{\hspace{1em}(②)}$$

这也是一个函数，指数x 是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以 $1-(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{5730}}$ 的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.

如果用字母 $a$ 代替上述①②两式中的底数1.11 和 $(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{5730}}$ ，那么函数 $y=1.11^x$ 和 $y=(\frac{1}{2}{)}^{\frac{x}{5730}}$ 就可以表示为

$$y=a^x$$

的形式，其中指数x 是自变量，底数a 是一个大于0且不等于1的常量.

一般地，函数 $y=a^x(a>0$ ，且 $a\ne 1)$ 叫做指数函数（exponential function），其中指数x是自变量，定义域是R.

例1已知指数函数 $f(x)=a^x(a>0$ 且 $a\ne 1)$ ，且 $f(3)=\pi$ ，求 $f(0),f(1),f(-3)$ 的值.

分析：要求 $f(0)$，$f(1)$，$f(-3)$的值，应先求出 $f(x)=a^x$ 的解析式，即先求a的值.

解：因为 $f(x)=a^x$ ，且 $f(3)=\pi$ ，则 $a^3=\pi$ ，解得 $a={\pi }^{\frac{1}{3}}$ ，于是

$$f(x)={\pi }^{\frac{x}{3}}.$$

所以， $f(0)={\pi }^0=1,f(1)={\pi }^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\pi },f(-3)={\pi }^{-1}=\frac{1}{\pi }.$

例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元（不含门票）的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15 年间A，B两地旅游收入变化情况.

解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为$f(x)$和 $g(x)$ ，则

$$f(x)=1150\times (10x+600),$$

$$g(x)=1000\times 278\times 1.11^x.$$

利用计算工具可得，

当$x=0$时， $f(0)-g(0)=412000$。

当$x\approx 10.22$时， $f(10.22)\approx g(10.22)$。

结合图4.2-3可知：

当$x<10.22$时， $f(x)>g(x)$；

当 $x>10.22$ 时， $f(x)<g(x)$。

图4.2-3

当 $x=14$ 时， $g(14)-f(14)\approx 347303$。

这说明，在 2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然 $f(x)>g(x)$ ，但 $g(x)$ 的增长速度大于 $f(x)$ ；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有 $f(x)=g(x)$ ，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后， $f(x)<g(x)$ ，游客给B地带来的收入超过了A地；由于 $g(x)$ 增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.

（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为 $h(x)$。

如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么

$$h(x)=\left(\right(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{5730}}{)}^x.$$

当 $x=10000$ 时，利用计算工具求得 $h(10000)=(\frac{1}{2}{)}^{\frac{10000}{5730}}\approx 0.30$。

所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约 $30\%$。

在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则 $y=N(1+p{)}^x(x\in \mathbf{N})$。形如 $y=k{a}^x(k\in \mathbf{R}$ 且 $k\ne 0;a>0$，且 $a\ne 1)$ 的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.