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你能仿照函数最大值的定义，给出函数 $y = f (x)$ 的最小值的定义吗？

例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m)？

解：画出函数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ 的图象（图3.2-4).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

烟花设计者就是按照这些数据设定引火线的长度，以达到施放烟花的最佳效果.

图3.2-4

由二次函数的知识，对于函数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ ，我们有：

当 $t = - \frac{14.7}{2 \times ( - 4.9 )} = 1.5$ 时，函数有最大值

$h = \frac{4 \times ( - 4.9 ) \times 18 - 14. 7 ^{2}}{4 \times ( - 4.9 )} \approx 29.$

于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为 29 m.

例5 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1} (x \in [2, 6])$ ，求函数的最大值和最小值.

分析：由函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1} (x \in [2, 6])$ 的图象（图3.2-5）可知，函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在区间[2，6]上单调递减.所以，函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.

图3.2-5

解： $\forall x_{1}, x_{2} \in [2, 6]$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{2}{x _{1} - 1} - \frac{2}{x _{2} - 1} = \frac{2 [ ( x _{2} - 1 ) - ( x _{1} - 1 ) ]}{( x _{1} - 1 ) ( x _{2} - 1 )} = \frac{2 ( x _{2} - x _{1} )}{( x _{1} - 1 ) ( x _{2} - 1 )} .$

由 $2 ⩽ x_{1} < x_{2} ⩽ 6$ ，得 $x_{2} - x_{1} > 0, (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) > 0$ ，于是

$f (x_{1}) - f (x_{2}) > 0,$

即

$f (x_{1}) > f (x_{2}) .$

所以，函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在区间[2，6]上单调递减.

因此，函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x=2时取得最大值，最大值是2；在x=6 时取得最小值，最小值是0.4.

练习

1.整个上午（8：00～12：00）天气越来越暖，中午时分（12：00～13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多．暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉．画出这一天8：00～20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图)，并说出所画函数的单调区间.

2.设函数f(x)的定义域为[-6，11]．如果f(x)在区间[-6，-2]上单调递减，在区间[-2，11]上单调递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个

3.已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值.

3.2.2奇偶性

前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质．下面继续研究函数的其他性质.

画出并观察函数 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = 2 - ∣ x ∣$ 的图象（图3.2-6)，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？

图3.2-6

可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称.

练习题

对于二次函数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ ，其图象开口向下。若用它描述烟花高度，则烟花达到最高点的时刻对应于图象的哪一部分？

A. 图象与

t

轴的交点

B. 图象的顶点的横坐标

C. 图象与

h

轴的交点

D. 图象上任意一点的横坐标

烟花高度函数为 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ 。烟花爆裂的最佳时刻和此时高度约为多少？

t = 1.5 s

，高度约为

29 m

t = 3 s

，高度约为

18 m

t = 0 s

，高度约为

18 m

t = 1 s

，高度约为

28 m

关于函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在区间 $[2, 6]$ 上的性质，下列说法正确的有哪些？

A. 函数

f (x)

在

[2, 6]

上单调递减

B. 当

x = 2

时，函数取得最大值

2

C. 当

x = 6

时，函数取得最小值

0.4

D. 函数

f (x)

在

[2, 6]

上单调递增

E. 函数的最大值和最小值都在区间端点处取得

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上单调递减，则它一定在左端点 $x = a$ 处取得最大值，在右端点 $x = b$ 处取得最小值。

对于任意 $x_{1}, x_{2} \in [2, 6]$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{2}{x _{1} - 1} - \frac{2}{x _{2} - 1} = \frac{2 ( x _{2} - x _{1} )}{( x _{1} - 1 ) ( x _{2} - 1 )} > 0$ ，所以 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在 $[2, 6]$ 上单调递减。

函数 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = 2 - ∣ x ∣$ 的图象都有一个共同特征：关于 $y$ 轴对称。

函数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ 的图象顶点表示烟花上升的最高点，其顶点横坐标为 $t=___\text{ s}$ 。

函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在区间 $[2, 6]$ 上的最小值是 ___。

仿照最大值的定义，写出函数 $y = f (x)$ 在定义域 $D$ 上有最小值 $m$ 的定义。

已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 。求它在区间 $[2, 6]$ 上的最大值和最小值，并说明理由。

已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ ， $x \in [2, 6]$ 。若用单调性的定义判断它在 $[2, 6]$ 上的变化趋势，并据此求最值，下列说法正确的是哪一项？

A. 因为

x_{1} < x_{2}

时

f (x_{1}) < f (x_{2})

，所以

f (x)

在

[2, 6]

上单调递增，最大值为

f (6) = \frac{2}{5}

B. 因为

x_{1} < x_{2}

时

f (x_{1}) > f (x_{2})

，所以

f (x)

在

[2, 6]

上单调递减，最大值为

f (2) = 2

，最小值为

f (6) = \frac{2}{5}

C. 因为

x_{1} < x_{2}

时

f (x_{1}) > f (x_{2})

，所以

f (x)

在

[2, 6]

上单调递增，最大值为

f (2) = 2

D. 因为

f (x)

是分式函数，所以不能判断它在闭区间

[2, 6]

上的最大值和最小值

关于函数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ 描述烟花高度的问题，下列说法正确的有哪些？

A. 因为图象是开口向下的二次函数图象，所以最高点对应函数的最大值

B. 烟花爆裂的最佳时刻对应图象顶点的横坐标

C. 烟花爆裂时距地面的高度对应图象顶点的纵坐标

D. 该函数的最高点与函数

y = x^{2}

的最低点体现的都是通过图象顶点研究最值

E. 因为

h (t)

是二次函数，所以它一定像

y = x^{2}

一样有最低点

函数 $f (x) = x^{2}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，并且它在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，所以它在整个定义域 $R$ 上也是增函数。

函数 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = 2 - ∣ x ∣$ 的图象都关于 ___ 对称；其中 $f (x) = x^{2}$ 还在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，并且有最低点 $(0, 0)$ 。

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练习

3.2.2奇偶性

练习题

对于二次函数 h(t)=−4.9t2+14.7t+18，其图象开口向下。若用它描述烟花高度，则烟花达到最高点的时刻对应于图象的哪一部分？

烟花高度函数为 h(t)=−4.9t2+14.7t+18。烟花爆裂的最佳时刻和此时高度约为多少？

关于函数 f(x)=x−12​ 在区间 [2,6] 上的性质，下列说法正确的有哪些？

若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上单调递减，则它一定在左端点 x=a 处取得最大值，在右端点 x=b 处取得最小值。

对于任意 x1​,x2​∈[2,6]，若 x1​<x2​，则 x1​−12​−x2​−12​=(x1​−1)(x2​−1)2(x2​−x1​)​>0，所以 f(x)=x−12​ 在 [2,6] 上单调递减。

函数 f(x)=x2 和 g(x)=2−∣x∣ 的图象都有一个共同特征：关于 y 轴对称。

函数 h(t)=−4.9t2+14.7t+18 的图象顶点表示烟花上升的最高点，其顶点横坐标为 t=___\text{ s}。

函数 f(x)=x−12​ 在区间 [2,6] 上的最小值是 ___。

仿照最大值的定义，写出函数 y=f(x) 在定义域 D 上有最小值 m 的定义。

已知函数 f(x)=x1​。求它在区间 [2,6] 上的最大值和最小值，并说明理由。

已知函数 f(x)=x−12​，x∈[2,6]。若用单调性的定义判断它在 [2,6] 上的变化趋势，并据此求最值，下列说法正确的是哪一项？

关于函数 h(t)=−4.9t2+14.7t+18 描述烟花高度的问题，下列说法正确的有哪些？

函数 f(x)=x2 的图象关于 y 轴对称，并且它在 [0,+∞) 上单调递增，所以它在整个定义域 R 上也是增函数。

函数 f(x)=x2 和 g(x)=2−∣x∣ 的图象都关于 ___ 对称；其中 f(x)=x2 还在 [0,+∞) 上单调递增，并且有最低点 (0,0)。

对于二次函数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ ，其图象开口向下。若用它描述烟花高度，则烟花达到最高点的时刻对应于图象的哪一部分？

烟花高度函数为 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ 。烟花爆裂的最佳时刻和此时高度约为多少？

关于函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在区间 $[2, 6]$ 上的性质，下列说法正确的有哪些？

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上单调递减，则它一定在左端点 $x = a$ 处取得最大值，在右端点 $x = b$ 处取得最小值。

对于任意 $x_{1}, x_{2} \in [2, 6]$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{2}{x _{1} - 1} - \frac{2}{x _{2} - 1} = \frac{2 ( x _{2} - x _{1} )}{( x _{1} - 1 ) ( x _{2} - 1 )} > 0$ ，所以 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在 $[2, 6]$ 上单调递减。

函数 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = 2 - ∣ x ∣$ 的图象都有一个共同特征：关于 $y$ 轴对称。

函数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ 的图象顶点表示烟花上升的最高点，其顶点横坐标为 $t=___\text{ s}$ 。

函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ 在区间 $[2, 6]$ 上的最小值是 ___。

仿照最大值的定义，写出函数 $y = f (x)$ 在定义域 $D$ 上有最小值 $m$ 的定义。

已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 。求它在区间 $[2, 6]$ 上的最大值和最小值，并说明理由。

已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ ， $x \in [2, 6]$ 。若用单调性的定义判断它在 $[2, 6]$ 上的变化趋势，并据此求最值，下列说法正确的是哪一项？

关于函数 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 14.7 t + 18$ 描述烟花高度的问题，下列说法正确的有哪些？

函数 $f (x) = x^{2}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，并且它在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，所以它在整个定义域 $R$ 上也是增函数。

函数 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = 2 - ∣ x ∣$ 的图象都关于 ___ 对称；其中 $f (x) = x^{2}$ 还在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，并且有最低点 $(0, 0)$ 。