3.2 函数的基本性质

3.2 函数的基本性质

变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质.

前面学习了函数的定义和表示法，知道函数y＝f（𝑥）$(x\in A)$ 描述了客观世界中变量之间的一种对应关系．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律．因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法.

我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质．观察图3.2-1中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？

图3.2-1

3.2.1单调性与最大（小）值

在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性．下面进一步用符号语言刻画这种性质.

先研究二次函数 $f(x)=x^2$ 的单调性.

画出它的图象（如图3.2-2)，可以看到：

图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当 $x⩽0$ 时，y随x的增大而减小．用符号语言描述，就是任意取 $x_1,x_2\in (-\infty ,0]$ ，得到 $f(x_1)=x_1^2,f(x_2)=x_2^2$ 那么当 $x_1<x_2$ 时，有 $f\left({\mathbf{x}}_1\right)>f\left({\mathbf{x}}_2\right)$ ．这时我们就说函数$f(x)=x^2$ 在区间 $(-\infty ,0]$ 上是单调递减的.

图3.2-2

图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当

你能说明为什么$f(x_1)>f(x_2)$ 吗？

$x⩾0$ 时，y随x的增大而增大．用符号语言表达，就是任意取 $x_1,x_2\in [0,+\infty )$ ，得到 $f(x_1)=x_1^2,f(x_2)=x_2^2$ ，那么当 $x_1<x_2$ 时，有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ ．这时我们就说函数$f(x)=x^2$ 在区间 $[0,+\infty )$ 上是单调递增的.

你能说明为什么$f(x_1)<f(x_2)$ 吗？

思考

函数 $f(x)=\mid x\mid ,f(x)=-x^2$ 各有怎样的单调性？

一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 $I\subseteq D$

如果 $\forall x_1,x_2\in I$ ，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$ ，那么就称函数 $f(x)$ 在区间I上单调递增（图3.2-3（1)).

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数（increasingfunction)

(1)

(2)
图3.2-3

如果 $\forall x_1,x_2\in I$ ，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)>f(x_2)$ ，那么就称函数 $f(x)$ 在区间I上单调递减（图3.2-3（2)）.

特别地，当函数f（x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数（decreasingfunction)

如果函数 $y=f(x)$ 在区间Ⅰ上单调递增或单调递减，那么就说函数 $y=f(x)$ 在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做 $y=f(x)$ 的单调区间.