正在学习

综合运用

8．如图，矩形的面积为10。如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

(第8题)

9．一个圆柱形容器的底部直径是 $d cm$ ，高是 $h cm$ 。现在向容器内每秒注入某种溶液 $a cm^{3}$ 。求容器内溶液的高度x（单位：cm）关于注入溶液的时间t（单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域。

10．一个老师用5分制对数学作业评分。一次作业中，第一小组同学按座位序号1，2，3，4，5, 6的次序，得分依次是5，3，4，2，4，5。你会怎样表示这次作业的得分情况？用x，y分别表示序号和对应的得分，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？

11．函数 $r = f (ϕ)$ 的图象如图所示。

（1）函数 $r = f (ϕ)$ 的定义域、值域各是什么？

（2）r取何值时，只有唯一的 $ϕ$ 值与之对应？

图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交。
(第11题)

12．画出定义域为 ${x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ 8, 且 x \neq = 5}$ ，值域为 ${y ∣ - 1 ⩽ y ⩽ 2, y \neq = 0}$ 的一个函数的图象。

（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？

（2）如果平面直角坐标系中点 $P (x, y)$ 的坐标满足 $- 3 ⩽ x ⩽ 8, - 1 ⩽ y ⩽ 2$ ，那么其中哪些点不能在图象上？

13．函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过x的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ 。当 $x \in (- 2.5, 3]$ 时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图象。

14．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 $y = \frac{1}{2} a x^{2} (a > 0)$ 来描述。

拓广探索

15．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一个城镇。

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h，t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距点P的距离。请将t表示为x的函数。

（2）如果将船停在距点P4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到0.1h）？

(第15题)

给定数集 $A = R$ ， $B = (- \infty, 0]$ ，方程

$u^{2} + 2 v = 0, (①)$

（1）任给 $u \in A$ ，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断 $v = f (u)$ 是否为函数；

（2）任给 $v \in B$ ，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断 $u = g (v)$ 是否为函数。

17．探究是否存在函数 $f (x), g (x)$ 满足条件：

（1）定义域相同，值域相同，但对应关系不同；

（2）值域相同，对应关系相同，但定义域不同。

18．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字。如果记圆周率π小数点后第n位上的数字为y，那么你认为y是n的函数吗？如果是，请写出函数的定义域、值域与对应关系；如果不是，请说明理由。

阅读与思考

函数概念的发展历程

17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等，诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程。这正是函数概念产生和发展的背景。

"function"一词最初由德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646—1716）使用。在中国，清代数学家李善兰（1811—1882）在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将"function"译作"函数"。

《代微积拾级》

莱布尼茨用"函数"表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。1718年，他的学生、瑞士数学家约翰·伯努利（J.Bernoulli，1667—1748）强调函数要用式子表示。后来，数学家认为这不是判断函数的标准。只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了，所以，1755年，瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）将函数定义为"如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数"。

当时很多数学家对于不用式子表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。函数的概念仍然是比较模糊的。

随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，人们对函数的认识向前推进了。德国数学家狄利克雷（P.G.L.Dirichlet，1805—1859）在1837年时提出："如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数。"这个定义较清楚地说明了函数的内涵。只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用解析式还是用图象、表格等形式表示。例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0。19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，这就是本节学习的函数概念。

综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的。

你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？

练习题

矩形面积为 $10$ ，长为 $x$ ，宽为 $y$ ，对角线为 $d$ ，周长为 $l$ 。若把 $y$ 看成 $x$ 的函数，则正确的解析式和自然定义域是（假设长、宽均为正数）：

y = 10 x

，定义域为

R

y = \frac{10}{x}

，定义域为

(0, + \infty)

y = x^{2} + 10

，定义域为

[0, + \infty)

y = 20 - 2 x

，定义域为

(0, 10)

圆柱形容器底部直径为 $d cm$ ，高为 $h cm$ ，每秒注入溶液 $a cm^{3}$ ，其中 $a > 0, d > 0, h > 0$ 。设注入时间为 $t s$ ，溶液高度为 $x cm$ 。在容器未溢出且从空容器开始注入的条件下， $x$ 关于 $t$ 的函数解析式、定义域和值域分别是：

x = \frac{4 a t}{π d ^{2}}

，定义域

[0, \frac{π d ^{2} h}{4 a}]

，值域

[0, h]

x = \frac{a t}{π d ^{2}}

，定义域

[0, h]

，值域

[0, \frac{π d ^{2} h}{a}]

x = \frac{π d ^{2} t}{4 a}

，定义域

[0, + \infty)

，值域

[0, + \infty)

x = \frac{4 a}{π d ^{2} t}

，定义域

(0, + \infty)

，值域

(0, h]

函数 $f (x) = [x]$ 表示“不超过 $x$ 的最大整数”。当 $x \in (- 2.5, 3]$ 时，下面关于 $f (x)$ 的说法正确的是：

f (- 2.5) = - 3

，且

- 2.5

属于定义域

f (x)

的值域是

{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}

C. 当

x \in [2, 3)

时，

f (x) = 3

f (x)

的值域是

[- 3, 3]

下列哪些关系一定可以表示为函数？

A. 作业座位序号

x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}

与对应得分

y

的关系：

1 \mapsto 5

，

2 \mapsto 3

，

3 \mapsto 4

，

4 \mapsto 2

，

5 \mapsto 4

，

6 \mapsto 5

B. 圆周率

π

小数点后第

n

位数字

y

与位数

n \in N^{*}

的关系

C. 方程

u^{2} + 2 v = 0

中，任给

u \in R

，令解出的

v

与

u

对应

D. 方程

u^{2} + 2 v = 0

中，任给

v \in (- \infty, 0]

，令解出的

u

与

v

对应

E. 对每个实数

x

，令

m (x) = min {f (x), g (x)}

关于函数概念的发展历程，下列说法正确的有：

A. 函数概念产生于研究变量关系的实际需要，例如运动、天文、航海、炮弹轨迹等问题

B. “function”一词最初由莱布尼茨使用，李善兰在翻译中将其译作“函数”

C. 伯努利强调函数要用式子表示，但后来人们认识到函数不一定必须用解析式表示

D. 狄利克雷强调：只要对每个

x

都有唯一确定的

y

与之对应，就可以称

y

是

x

的函数

E. 狄利克雷函数说明，只有能画出连续曲线的对应关系才是函数

F. 集合与对应语言使函数概念更加严谨

只要两个函数的定义域和值域都相同，它们就一定是同一个函数。

对于定义域为 ${x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ 8, x \neq = 5}$ 、值域为 ${y ∣ - 1 ⩽ y ⩽ 2, y \neq = 0}$ 的某个函数来说，点 $(5, 1)$ 一定不能在它的图象上。

小岛到海岸最近点 $P$ 的距离为 $2 km$ ，城镇在 $P$ 正东 $12 km$ 处。船速为 $3 km/h$ ，步行速度为 $5 km/h$ 。若船停在海岸上距 $P$ 为 $x km$ 的位置，且 $0 \leq x \leq 12$ ，则总时间函数为 $t(x)=___$ 。

请构造一个实际问题情境，使其中两个变量的关系可以用 $y = \frac{1}{2} a x^{2} (a > 0)$ 描述。

已知某函数的定义域为 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，对应关系为 $1 \mapsto 5$ ， $2 \mapsto 3$ ， $3 \mapsto 4$ ， $4 \mapsto 2$ ， $5 \mapsto 4$ ， $6 \mapsto 5$ 。请写出它的值域，并说明为什么这是一个函数。

一个底面直径为 $d cm$ 、高为 $h cm$ 的圆柱形容器，以每秒 $a cm^{3}$ 的速度注入溶液。设注入时间为 $t s$ ，溶液高度为 $x cm$ 。根据实际意义求函数解析式、定义域和值域，下列正确的是哪一项？

x = \frac{4 a t}{π d ^{2}}

，定义域为

[0, \frac{π d ^{2} h}{4 a}]

，值域为

[0, h]

x = \frac{a t}{π d ^{2}}

，定义域为

[0, \frac{π d ^{2} h}{a}]

，值域为

[0, h]

x = \frac{4 a t}{π d ^{2}}

，定义域为

[0, + \infty)

，值域为

[0, + \infty)

x = \frac{π d ^{2} t}{4 a}

，定义域为

[0, h]

，值域为

[0, \frac{π d ^{2} h}{4 a}]

比较取整函数 $f (x) = [x]$ 在 $x \in (- 2.5, 3]$ 上的表示与某公交线路 $20 km$ 内的阶梯票价函数。下列说法正确的有哪几项？

A. 二者都可以用分段函数表示。

B. 取整函数

f (x) = [x]

在

(- 2.5, 3]

上的定义域是离散的。

C. 当

x \in (- 2.5, - 2)

时，

[x] = - 3

。

D. 阶梯票价函数必须用一条连续直线表示。

E. 若票价规则为

5 km

以内票价

2

元，超过

5 km

后每增加

5 km

加

1

元，则在

(10, 15]

上票价为

4

元。

只要对于定义域中的每一个 $x$ ，都有唯一确定的 $y$ 与之对应，即使对应关系是用表格或数位规则表示而不是解析式表示， $y$ 仍然可以是 $x$ 的函数。

矩形面积为 $10$ ，若用长 $x$ 表示宽 $y$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y =$ ___；因此判断点 $P (4, 2.5)$ 是否在图象上时，只需检验 $2.5$ 是否等于该函数在 $x = 4$ 处的值。

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函数概念的发展历程

练习题

矩形面积为 10，长为 x，宽为 y，对角线为 d，周长为 l。若把 y 看成 x 的函数，则正确的解析式和自然定义域是（假设长、宽均为正数）：

圆柱形容器底部直径为 d cm，高为 h cm，每秒注入溶液 a cm3，其中 a>0,d>0,h>0。设注入时间为 t s，溶液高度为 x cm。在容器未溢出且从空容器开始注入的条件下，x 关于 t 的函数解析式、定义域和值域分别是：

函数 f(x)=[x] 表示“不超过 x 的最大整数”。当 x∈(−2.5,3] 时，下面关于 f(x) 的说法正确的是：

下列哪些关系一定可以表示为函数？

关于函数概念的发展历程，下列说法正确的有：

只要两个函数的定义域和值域都相同，它们就一定是同一个函数。

对于定义域为 {x∣−3⩽x⩽8, x=5}、值域为 {y∣−1⩽y⩽2, y=0} 的某个函数来说，点 (5,1) 一定不能在它的图象上。

小岛到海岸最近点 P 的距离为 2 km，城镇在 P 正东 12 km 处。船速为 3 km/h，步行速度为 5 km/h。若船停在海岸上距 P 为 x km 的位置，且 0≤x≤12，则总时间函数为 t(x)=___。

请构造一个实际问题情境，使其中两个变量的关系可以用 y=21​ax2 (a>0) 描述。

已知某函数的定义域为 {1,2,3,4,5,6}，对应关系为 1↦5，2↦3，3↦4，4↦2，5↦4，6↦5。请写出它的值域，并说明为什么这是一个函数。

一个底面直径为 d cm、高为 h cm 的圆柱形容器，以每秒 a cm3 的速度注入溶液。设注入时间为 t s，溶液高度为 x cm。根据实际意义求函数解析式、定义域和值域，下列正确的是哪一项？

比较取整函数 f(x)=[x] 在 x∈(−2.5,3] 上的表示与某公交线路 20 km 内的阶梯票价函数。下列说法正确的有哪几项？

只要对于定义域中的每一个 x，都有唯一确定的 y 与之对应，即使对应关系是用表格或数位规则表示而不是解析式表示，y 仍然可以是 x 的函数。

矩形面积为 10，若用长 x 表示宽 y，则 y 关于 x 的函数解析式为 y= ___；因此判断点 P(4,2.5) 是否在图象上时，只需检验 2.5 是否等于该函数在 x=4 处的值。

矩形面积为 $10$ ，长为 $x$ ，宽为 $y$ ，对角线为 $d$ ，周长为 $l$ 。若把 $y$ 看成 $x$ 的函数，则正确的解析式和自然定义域是（假设长、宽均为正数）：

函数 $f (x) = [x]$ 表示“不超过 $x$ 的最大整数”。当 $x \in (- 2.5, 3]$ 时，下面关于 $f (x)$ 的说法正确的是：

对于定义域为 ${x ∣ - 3 ⩽ x ⩽ 8, x \neq = 5}$ 、值域为 ${y ∣ - 1 ⩽ y ⩽ 2, y \neq = 0}$ 的某个函数来说，点 $(5, 1)$ 一定不能在它的图象上。

小岛到海岸最近点 $P$ 的距离为 $2 km$ ，城镇在 $P$ 正东 $12 km$ 处。船速为 $3 km/h$ ，步行速度为 $5 km/h$ 。若船停在海岸上距 $P$ 为 $x km$ 的位置，且 $0 \leq x \leq 12$ ，则总时间函数为 $t(x)=___$ 。

请构造一个实际问题情境，使其中两个变量的关系可以用 $y = \frac{1}{2} a x^{2} (a > 0)$ 描述。

已知某函数的定义域为 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，对应关系为 $1 \mapsto 5$ ， $2 \mapsto 3$ ， $3 \mapsto 4$ ， $4 \mapsto 2$ ， $5 \mapsto 4$ ， $6 \mapsto 5$ 。请写出它的值域，并说明为什么这是一个函数。

一个底面直径为 $d cm$ 、高为 $h cm$ 的圆柱形容器，以每秒 $a cm^{3}$ 的速度注入溶液。设注入时间为 $t s$ ，溶液高度为 $x cm$ 。根据实际意义求函数解析式、定义域和值域，下列正确的是哪一项？

比较取整函数 $f (x) = [x]$ 在 $x \in (- 2.5, 3]$ 上的表示与某公交线路 $20 km$ 内的阶梯票价函数。下列说法正确的有哪几项？

只要对于定义域中的每一个 $x$ ，都有唯一确定的 $y$ 与之对应，即使对应关系是用表格或数位规则表示而不是解析式表示， $y$ 仍然可以是 $x$ 的函数。

矩形面积为 $10$ ，若用长 $x$ 表示宽 $y$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y =$ ___；因此判断点 $P (4, 2.5)$ 是否在图象上时，只需检验 $2.5$ 是否等于该函数在 $x = 4$ 处的值。